研究運算元在微小變動的情況下，它的各種性質變化的一種理論，始於20世紀20年代。為瞭研究振動系統受到微小擾動後的情況，人們利用反映擾動前系統的較簡單的線性運算元特徵值問題的解，求出瞭反映經過擾動後運算元特徵值問題的近似解。E.薛定諤發展瞭類似的方法，深入地研究瞭量子力學中遇到的特徵值問題，這就是量子力學中的微擾法。其後，一些數學傢對這些微擾法中出現的級數的收斂性進行瞭一系列研究。與此同時，還研究瞭對於散射理論和量子場論有重要意義的連續譜的擾動。他們的工作啟示人們們進一步考察無界線性算子的各種擾動問題。線性算子擾動理論已發展為算子理論中引人矚目的一個重要分支。

　　線性算子擾動理論的基本問題是：設T是巴拿赫空間上的線性算子，A是擾動算子，當T+A和T在某種意義下很接近時，如何由T的性質導出T+A的相應性質？擾動理論中大量出現的是無界算子，這是因為經典力學和量子力學中出現的算子常常是無界的。薛定諤方程中出現的算子

就是無界算子 經過位勢項 U( x)擾動後得到的。

　　擾動理論主要包括以下幾個方面的內容。①討論某些重要的算子類（例如閉算子類、自共軛算子類、弗雷德霍姆算子類等）在擾動下的不變性。關於閉算子的擾動，有下面的概念和結果：設T，A是巴拿赫空間x到Y的兩個線性算子，D(T)⊂D(A)，且存在α，b≥0，使得對x∈D(T)，成立‖Ax‖≤α‖x‖+b‖Tx‖，則稱A關於T是相對有界的，而滿足上式的b)的下確界稱為A關於T的相對界。又若當{xn}和{Txn}均為有界時，{Axn}必有收斂子序列，則稱A關於T是相對緊的。如果T是閉算子，而A關於T的相對界小於1，或者A關於T是相對緊的，而T+A也是閉算子。②研究在小擾動下，對應的特征值和特征向量的擾動情況。這方面有下述基本結果：當T為巴拿赫空間上一個有界線性算子，而μ0為T的孤立的有限重特征值，它的重數是m，那麼對ε>0，存在δ>0，使得當擾動算子A的范數小於δ時，算子T+A在圓{μ｜｜μ-μ0｜＜ε}中按重數計算恰好有m個特征值。③研究算子經過擾動以後，它的譜的變化情況。經常考慮的是在緊擾動下，譜的變化情況。這方面有下述的經典結果。

　　外爾-馮·諾伊曼定理　設H是可分的希爾伯特空間，A是H上自共軛算子。對ε>0，存在自共軛的希爾伯特－施密特算子S，‖S‖2＜ε，使A+S僅有純點譜（指特征向量張成閉線性子空間是全空間）。

　　類似的結果，對正常算子也成立。另外，研究算子半群的生成元經過小擾動後，算子半群性態的變化，也是擾動理論的一個課題。

　　

參考書目

　T.Kato，Perturbation Theory for Linear Operators，Springer-Verlag，New York，1966.