線匯論

　　三維歐氏空間由二參變數(u，v)定義的具有二個自由度的直線全體｛l(u，v)｝稱為直線匯或簡稱線匯，各直線稱為光線。這方面理論發端於1828、1830年W.R.哈密頓的研究。1860年E.E.庫默爾仿效曲面論的方法取定一個參考曲面，使每條光線>l(u，v)和它相交於點x(u，v)，而且采用l(u，v)的單位向量n(u，v)以代替曲面的法線，於此，他作出dn²和dxdn這二個二次微分形式，並按照同曲面論一樣的步驟展開瞭線匯的系統的論述，從而基本上獲得瞭線匯的重要元素。但是，在參考曲面的選擇上存在著不惟一性的缺點，所以，G.桑尼亞(1908)對此加以改善，保留E.E.庫默爾的第一基本形式

而重新作出新形式 ，用以取代第二基本形式，這裡 d σ和 d r分別表示線匯的二鄰近光線 l( u， v)， l′( u+ d u， v+ d v)間的交角和最短距離，這樣，線匯論基本定理就如同曲面論中一樣，被完備無缺地建立起來瞭。

　　在討論線匯論的方法中，特別要提出的是W.J.E.佈拉什克利用E.施圖迪的推移原理和W.K.克利福德的對偶數而作成的創建。下面將簡述“對偶點”與桑尼亞基本形式間的關系。

　　對偶數與直線坐標　按照E.斯圖迪的理論說來，直線幾何是可以移到作為二維球面上的幾何而對之進行研究的。為此，將運用被稱為“對偶數”的數系。普通的復數有兩個單位1，i，其中i²=-1，而且一般形式是α+ib)，式中α，b都是實數。對偶數的一般形式則是α+εb，其中新單位ε滿足關系式ε²=0。對偶數滿足乘法交換律，但是因子定理則不成立。換言之，二對偶數的積等於零時，各因子可以不是零。例如，設α·b≠0，εα·εb=0就是例子。可以普通復數的方法定義對偶數的正則函數。比如：從

得出

cos(α+εβ)=cos α-εβsin α。

　　設一直線l是由其上二點p(x)和p(x)決定的。這裡x表示p的位置向量，等等。令

，

式中 ρ≠0是待定的實數，“×”表示向量積，這二向量的六個分量恰恰代表直線 l的普呂克坐標，它們必須滿足恒等式( X， )=0。現在選取 ρ使得 X ²=1，那麼 X表示直線 l的單位向量。

　　根據斯圖迪理論導入一個“對偶向量”：ξ＝X+εx，使之和直線l一一對應，從上述關系立即得出ξ²=1。所以(ξ)表示單位球上的一個“對偶點”，這樣，三維空間的直線被表示為單位球上的對偶點。

　　對偶點與桑尼亞基本形式　設一個線匯的光線l(u，v)所對應的對偶點為

，那麼在單位球上所作的“對偶線素” d ξ ²，是在對偶旋轉下的不變形式，而且實際上，它的實部分和對偶部分恰恰分別是桑尼亞的第一和第二基本形式。

。

　　一個曲面的所有法線構成的線匯稱為法線匯，它有如下的重要性質，被稱為幾何光學的基本定理，即

　　馬呂斯－迪潘定理　任意法線匯的光線經有限回關於曲面的反射或屈射後，仍然保持其為法線匯的性質。

　　也可以用仿射和射影的觀點來研究線匯。

　　

參考書目

　蘇步青著：《微分幾何學》，正中書局，重慶，1948。

　W.Blaschke，Vorlesungen Über Differentiαl Geometrie，Aufl.3，Bd.1，Verlag von Julius Springer，Berlin，1923.