數論中的重要概念。給定一個正整數m，如果二整數α、b)滿足m│α-b)(α-b)被m整除)，就稱整數α、b<)對模m同餘，記作α≡b)(modm)。對模m同餘是整數的一個等價關系。利用同餘的定義可得以下基本性質：①若α1≡b)1(modm)，α2≡b)2(modm)，則α1±α2≡b)1±b)2(modm)，α1α2≡b)1b)2(modm)。②若αс≡b)с(modm)，則
。
剩餘類和完全剩餘系 餘數相同的整數集合，就叫做剩餘類。確切地說，若m是一個給定的正整數，則全體整數可以分成m個集，記作C0，C1，…，Cm-1，其中Cr(r=0，1，…，m-1)是由一切形如qm＋r(q=0，±1，±2，…)的整數所組成的集。這些集合具有性質：①每一個整數必包含在而且僅包含在上述一個集合裡。②兩個整數同在一個集合的充分必要條件是它們對模m同餘。這樣的m個集C0，C1，…，Cm-1叫做模m的剩餘類。由此可引出抽象代數中重要的概念，如群論中的陪集，環論中的剩餘類等。任取
，這
m個數
α
0，
α
1，…，
α
m
-1稱為模
m的一個完全剩餘系。最常用的完全剩餘系是0，1，…，
m-1。如果(
k，
m)＝1，
l是任給的整數，
α
0，
α
1，…，
α
m
-1是模
m的一個完全剩餘系，那麼，
k
α
0+
l，
k
α
1+
l，…，
k
α
m
-1+
l也是模
m的一個完全剩餘系。但是，當
m≡0(mod2)時，如果
α
0，
α
1，…，
α
m
-1和
b)
0，
b)
1，…，
b)
m
-1分別是模
m的一個完全剩餘系，那麼
α
0+
b)
0，
α
1+
b)
1，…，
α
m
-1+
b)
m
-1就不是模
m的一個完全剩餘系。1948年，S.喬拉等人證明瞭：設
m＞2，如果
α
0，
α
1，…，
α
m
-1和
b)
0，
b)
1，…，
b)
m
-1分別是模
m的一個完全剩餘系，那麼
α
0
b)
0，
α
1
b)
1，…，
α
m
-1
b)
m
-1不是模
m的一個完全剩餘系。
費馬小定理和歐拉定理 1640年，P.de費馬宣佈他證明瞭：如果p是一個素數，x是一個整數，滿足p柯x，則p｜xp-1-1。這個重要的定理叫做費馬小定理。1736年，L.歐拉首先給出瞭這一定理的證明。1760年，他又作瞭重要推廣：若m是一個正整數，對於每一個滿足(x，m)=1的整數x，則有
，這就是歐拉定理。其中
φ(
m)叫做歐拉函數，它表示0，1，…，
m-1中與
m互素的數的個數。在
C
0，
C
1，…，
C
m
-1中，恰有
φ(
m)個類，其中每一個數都和
m互素，在這
φ(
m)個類中各取一數，得到
φ(
m)個數，叫做模
m的一個縮系。運用縮系的性質，很容易證明歐拉定理。設
是模
m的一個縮系，(
x，
m)=1，那麼
也是模
m的一個縮系，於是
，即得出歐拉定理
。當
m是素數時，就得到費馬小定理。設
m的標準分解式為
，利用縮系的性質可證
。
一次同餘式和孫子定理 同餘式的求解中，一次同餘式是最基本的。設整系數n次(n＞0)多項式f(x)=αnxn+…+α1x+α0，m是一個正整數且不能整除αn，則
(1)
叫做模
m的
n次同餘式。如果整數
α是（1）的解且
α≡
α′(
mod
m)，那麼
α′也是(1)的解，因此，(1)的不同解是指滿足(1)的模
m互不同餘的數。對於一次同餘式
α
x≡
b)(
mod
m)有解的充分必要條件是(
α，
m)│
b)，若有解則有(
α，
m)個解。一次同餘式組是指
\
n
。 (2)
在中國古代《孫子算經》中，對某些具體的一次同餘式組已有解法，把這一解法加以推廣，就是著名的孫子剩餘定理：設
m
1，
m
2，…，
m
k是
k個兩兩互素的正整數
，
則同餘式組(2)的解是
，
式中
。孫子剩餘定理又被稱之為中國剩餘定理，是數論中一個重要的定理，除瞭數論本身，數學的許多其他分支以及一些應用學科都要用到它。例如，設
m＝
m
1
m
2…
m
k，
m
1，
m
2，…，
m
k兩兩互素，利用孫子剩餘定理可將同餘式(1)的求解問題化為同餘式組
f(
x)≡0(
mod
m
i)(
i＝1，2，…，
k)的求解問題，於是就隻需要研究(1)中
m是素數方冪的情形瞭。又如，可將0≤
x＜
m中的一切整數
x，用
表示，這叫做模系數記數法，這裡
m＝
m
1
m
2…
m
k，
m
1，
m
2，…，
m
k兩兩互素，而
表示
x模
m
i的最小非負剩餘。
如果已知x的模系數記數法，就可用孫子定理找出x。這個記數法的優點是加法和乘法無須進位，它在計算機方面有應用。
素數為模的同餘式 關於素數為模的同餘式，1770年，J.-L.拉格朗日證明瞭如下定理：設p是素數，那麼模p的n次同餘式
的解數不大於
n（重解也計算在內）。人們稱之為拉格朗日定理。由此立即可以得威爾森定理：如果
p是素數，那麼(
p-1)!+1≡0(
mod
p)。因為
x
p
-1-1≡0(
mod
p)有
p-1個解1，…，
p-1，故由拉格朗日定理可得
xp-1-1≡(x-1)(x-2)…(x-(p-1))(modp)，
將 x=0代入上式得-1≡(-1) p( p-1)!( mod p)，這就證明瞭威爾森定理。威爾森定理的逆定理也是成立的，可用反證法簡單證出。用拉格朗日定理還可證明：當 p≥5是一個素數時，則有
。這個定理是1862年，由J.沃斯頓霍姆證明的。
設f(x1，x2，…，xn)是n元整系數多項式，p是一個奇素數，對於同餘式f(x1，x2，…，xn) ≡0(modp)的解(x1，x2，…，xn)(0≤xj＜p，j=1，2，…，n)的個數N的研究，是數論的重要課題之一。
早在1801年，C.F.高斯就研究瞭同餘式αx3-b)y3≡1(modp)的解的個數，這裡p≡1(mod3)和同餘式αx4-b)y4≡1(modp)的解的個數，這裡p≡1(mod4)。
設f(x)模p無重因式，1924年，E.阿廷猜想同餘式y2≡f(x)(modp)，在f(x)的次數為3和4時，N分別滿足
和
，1936年，H.哈塞證明瞭這一猜想，並且還證明瞭對於一般含
q個元的有限域，把以上兩式中
p換成
q，也是對的。1948年，韋伊對於一般的
f(
x，
y)=0在有限域上得到類似的結果，他猜想對於
f(
x
1，
x
2，…，
x
n)=0也有類似的結果。1973年，P.德利涅證明瞭韋伊猜想。他的傑出工作獲得瞭1978年的國際數學傢會議的費爾茲獎。
參考書目
W.M.Schmidt，Equations over Finite Fields：an Elementary Approach，Lecture Notes in Math.536，Springer-Verlag，New York，1976.