泰希米勒空間

　　黎曼曲面複結構的形變所組成的空間。泰希米勒空間的理論主要是用擬共形映射為工具來研究黎曼曲面的模問題，這種研究與克萊因群以及低維拓撲問題有一定的聯繫。20世紀30年代末及40年代初，O.泰希米勒發表的幾篇著名文章為這一理論奠定瞭基礎。50年代後，L.V.阿爾福斯與L.伯斯等人進一步發展瞭泰希米勒理論。

　　設R_g是全體虧格為g的閉黎曼曲面的共形等價類所組成的空間。所謂黎曼曲面的模問題就是指R_g空間的參數化問題。

　　在g＝1時(也即環面的情況)，上述問題的解決是容易的。事實上，每個環面都同構於C/Λ(τ)，這裡Λ(τ)表示格群

{m+nτ：m，n∈Z}，I_m(τ)>0。

另一方面，環面 C/ Λ( τ)與 C/ Λ( τ′)共形等價的充要條件是 τ′＝(α τ+ β)/( γ τ+ δ)，其中α， β，γ， δ∈Z且α δ- βγ＝1。這就是說，環面的共形等價類可以用模群 SL(2；Z)在上半平面中的基本域中的點來代表。換句話說， R ₁可以通過一個復參數來描述。

　　對於虧格g＞1的情況，1857年黎曼提出下列的猜想：R_g可以通過3g-3個復參數來描述。這些參數被稱為黎曼曲面的模。在g＞1的情況下，直接討論R_g的參數化問題十分困難。解決這個問題的一個關鍵步驟是過渡到R_g的一個覆蓋空間上，這就是後來以泰希米勒命名的空間T_g。

　　考慮一個固定的虧格為g(g＞1)的閉黎曼曲面S₀。對於任意一個虧格為g的閉黎曼曲面S及S₀到S的一個保持定向的同胚σ，稱(S，σ)為一個標記黎曼曲面。兩個標記黎曼曲面（S，σ）與（S₁，σ₁）被稱為等價的，如果存在一個共形映射φ：S→S₁同倫於σ₁。σ^-1。標記黎曼曲面(S，σ)的等價類記作[S，σ]。全體這樣的等價類就組成瞭泰希米勒空間T_g。

　　設τ：S₀→S₁是S₀的一個保持定向的自同胚。則每一個這樣的自同胚τ都誘導瞭T_g到自身的映射

。全體這樣的 τ*組成瞭一個群，記作Mod g，被稱為模群。有下列的關系：

。

　　早在泰希米勒之前，R.弗裡克就證明瞭T_g(g＞1)有6g-6個實的整體參數。泰希米勒在此基礎上，借助於他對黎曼曲面上的擬共形映射的極值問題的討論，在T_g空間中引進一種度量：

，

式中 f跑遍 σ ₁。 σ ^-1的同倫類中的一切擬共形映射； K[ f]表示 f的最大伸縮商。泰希米勒證明瞭這是一個完備度量，在這個度量下 T _g空間同胚於 中的單位球內部。

　　設Q(S₀)是黎曼曲面S₀上全體全純二次微分φdz²所組成的線性空間。由黎曼-羅赫定理可計算出Q(S₀)的復維數為3g-3，這裡g是S₀的虧格(g＞1)。泰希米勒基於對全純二次微分誘導的度量

的幾何性質的研究，證明瞭對於任意一點［ S， σ］都可以找到一個特殊代表( S， σ)，使得其中 σ： S ₀→ S是一個擬共形映射，其相應的貝爾特拉米微分具有下列形式： ，其中 k是小於1的非負實數， 。這裡 φ d z ²惟一由點[ S， σ]所決定，隻要它滿足規范條件。總之，泰希米勒把 T _g中的點對應到 Q( S ₀)中的點(附加規范條件)及一個實數 k，這樣一來， T _g中的點恰好由 6 g-6個實參數確定。

　　1960年阿爾福斯首先證明瞭泰希米勒空間T_g(g＞1)在某種自然意義下構成瞭3g-3維復流形。1961年伯斯進一步證明瞭，T_g可以全純嵌入到C

中成為一個有界域。伯斯嵌入的主要考慮基於擬共形映射理論。

　　泰希米勒空間T_g作為一個C

中的有界域，它是一個全純凸域，但不是對稱域，甚至不是齊性域。

　　在T_g的復結構下，模群Mod g中的每一元素τ*：T_g→T_g都是全純映射。模群在T_g上的作用是真間斷的。因此，

成為一個正規復空間，但不是流形( g＞1)。它有奇點，奇點對應於允許有非平凡共形自同構的黎曼曲面。

　　在T_g空間上可以引進自然的凱勒度量。這個度量的裡奇曲率及全純截面曲率都是負的。已經證明瞭上述泰希米勒度量重合於T_g的小林偽度量，並由此推出T_g空間沒有模群之外的全純自同構。

　　對於泰希米勒空間的研究導致瞭萬有泰希米勒空間的概念。所謂萬有泰希米勒空間實際上是指滿足規范條件的在單位圓內單葉解析而在單位圓外能擬共形開拓的函數所組成的空間。對於泰希米勒空間的邊界的研究導致瞭對邊界群的探討。這是一類特殊的克萊因群，它隻有一個單連通的不變分支。此外，W.P.瑟斯頓基於他對曲面葉狀結構的研究，給出瞭空間T_g的一種緊化，並在此基礎上證明瞭關於緊曲面上保向自同胚的分類定理。伯斯給瑟斯頓定理以分析的證明，並相應地給出瞭模群元素的分類。

　　

參考書目

　L.V.Ahlfors，Quasiconformal Mapping，TeichmüllerSpaces and Klein Groups，Proc.lnternat.Congr.Math.pp.71～84，Helsinki，1978.

　L.Bers，Finite Dimensional Teichmüller Spaces and Generatizations，Bulletin(New Series)of American Math.Soc.，Vol.5，No.2，pp.131～172，1981.