具有弱導數的多變數可積函數組成的一類巴拿赫空間。由於蘇聯數學傢С.Л.索伯列夫對這類函數空間的發展作出瞭重要貢獻而以他的姓來命名。從30年代起，隨著變分法的發展和偏微分方程定解問題的解的存在性與正則性研究的需要，許多人研究瞭這類函數空間。索伯列夫空間及其各種推廣、嵌入定理、跡定理及各種插值公式已經成為偏微分方程理論必不可少的工具。

　　設Ω是n維空間R<n中的一個區域。為瞭簡明起見，假定Ω是有界的。再設α＝(α1，α2，…，αn)是非負整數組，|α|=α1+α2+…+αn，

， m為非負整數。下列函數集合賦以相應的范數都是巴拿赫空間：

　　①Ω上m階連續可微的函數的集合Cm(Ω)，其中的元素u的范數為

。

　　②Cm(Ω)中滿足赫爾德條件

的函數 u的集合 C ( Ω)(0＜ λ≤1)， u的范數為

　　③p冪可積函數的集合Lp(Ω)(1≤p＜∞)，元素u的范數是

。

　　④ 有界可測函數的集合L∞(Ω)，元素u的范數為

。

　　索伯列夫空間　設1≤p≤∞，以C噠(Ω)表示屬於Cm(Ω)且在Ω的一個閉子域外為零的函數的集合。如果u∈Lp(Ω)，且對所有滿足|α|≤k的α，存在函數υα∈Lp(Ω)，使得積分等式

對所有 φ∈ C噠( Ω)都成立，那麼稱 u∈ （或 u∈ ），而函數υ α稱為 u的α階廣義導數或弱導數或分佈導數，記為υ α= D α u。函數類 對范數

　　　　　　　　　　　　　　(1≤p＜∞)　　　　　　　　(*)

成為一個巴拿赫空間，稱為索伯列夫空間。此空間中幾乎處處相等的函數看成是相同的。當1≤p＜∞且Ω的邊界

充分光滑時，空間 就是空間 C k( Ω)關於范數(*)的完備化。 W 0 ， p( Ω)= L p( Ω)。

　　空間Hk(Ω)＝Wk，2(Ω)中賦以內積

還成為希爾伯特空間。

　　嵌入定理　設Ω

是含於 Ω的一個 m維光滑流形;特別地，可以把 Ω或 Ω的子區域視為 Ω ，把 視為 Ω (n-1)把 m維平面與 Ω的交視為 Ω 。 中的函數 u可以視為 Ω 上定義的函數，稱為 u在 Ω 上的跡，記為 ，並稱у為把 Ω上的函數映射為 Ω 上的函數的跡算子。當 Ω = Ω = Ω時，у為恒等算子。

　　記X＝

，設 Y為定義在 Ω 上的函數組成的一個巴拿赫空間。若 u∈ x則必有γ u∈ Y，且跡算子γ是 x到 Y的有界算子，就稱空間 x嵌入空間 Y，記為 x戺 Y。若嵌入算子γ又是緊算子，則稱 x緊嵌入 Y，記為 x戺戺 Y。

　　嵌入定理　設1≤p＜∞，當Ω的邊界

適當光滑時有以下結果。①當 m＞ n- p k≥0時，對 有 ；若 ，則 ②當 時，有 及

，這裡，當 時， 而當 時， λ是(0，1)中的任意數。這個定理不能再改進瞭。例如，當 時，如果 ，那麼存在 ，但 。

　　G.H.哈代與J.E.李特爾伍德在30年代初研究變分問題時建立的一些不等式實際上是對n＝1的嵌入定理。上述的一般嵌入定理包含瞭許多人的工作。索伯列夫最初建立的嵌入定理隻有：①當

時，有

。②當 時，有 。緊嵌入 是 Л.Β.孔德拉紹夫證明的（1938）。嵌入 是 C. B.莫利證明的(1940)。

的極限指數 是Β.Л.伊利因證明的(1954)。把區域 Ω的光滑性條件減到最弱（在情形①是所謂錐條件，在情形②是李普希茨條件）是E.加利亞爾多的工作(1958)。

　　分數階空間與跡定理　當m=n-1時，對滿足上述嵌入定理的q，

中的函數在 上的跡是 L q( )中的函數；但是，並非所有 L q( )中的函數都是空間 中某個函數在 上的跡。然而，研究偏微分方程更加密切相關的問題是：定義在 上的哪一類函數，其中每個函數都可以延拓到 Ω上而成為 中的一個函數?為瞭解決這個問題，需要把空間 從整數 k推廣到非整數s。從50年代起，許多人從不同途徑作瞭推廣工作。下面是常用到的分數階空間 。

　　設s=m+σ，m為非負整數，0＜σ＜1。若u∈

，且 u的所有 m階弱導數都滿足條件

則稱 u∈ ，其范數定義為

於是，對任意實數s≥0， 是巴拿赫空間。

　　對上述問題的完整回答是跡定理：當邊界

適當光滑時，對1＜ p＜∞ 有 ，且嵌入算子是滿映射（粗略地說， 的函數在邊界 上失掉1/ p階導數）。一般，命 表示 u在 上的外法向導數，則跡算子γ＝（γ 0，γ 1，…，γ k -1）是 到 的滿映射。

　　1951年，С.М.尼科利斯基研究瞭一類接近

但稍大於 的空間 並建立瞭類似的跡定理。上述跡定理對 p＝2是由Л.Η.斯洛博傑茨基證明的(1958)，對任意 p＜1是經過加利亞爾多(1957)和С.Β.烏斯賓斯基(1960)先後研究完成的。J.－L.萊昂斯與E.馬格內斯通過內插空間理論研究空間 也得出瞭上述的跡定理(1961)。Ο.Β.別索夫於1959年開始研究另一類分數階空間 ，也證明相應的嵌入定理及跡定理。