計算流體力學-百科詞條

　　計算數學與流體力學之間的一門邊緣學科，它提供瞭在電子電腦上對流體力學進行數值模擬的手段。由於流體力學運動的複雜性，在模擬過程中在計算方法上遇到較多的困難，有必要進行專門研究，所以在計算數學中，計算流體力學逐漸形成瞭一個有相當獨立性的分支。

　　非定常理想流體力學的方程和方法　描寫非定常理想流體或氣體運動過程的動力學方程組為

(1)

式中 ρ、 p、 u分別表示介質的密度、壓力、速度；E是單位質量的總能量，等於內能 e與動能

之和。方程(1)連同介質的狀態方程 p＝ p( ρ， e)組成封閉方程組，給出適當的初始條件和邊界條件後就可以求解。方程(1)是建立在歐拉坐標系中的，它的解給出瞭在空間固定位置上諸力學量隨時間的變化。在計算流體力學中通常將解方程(1)的各種方法稱為歐拉方法，相應的差分格式稱為歐拉格式。流體動力學方程還可以建立在拉格朗日坐標系中。即建立在隨流體運動的坐標系中，以及任意活動的坐標系中，一般稱解拉格朗日坐標系中的流體動力學方程的方法為拉格朗日方法。在任意活動的坐標系中，非定常理想流體動力學方程的積分形式為

式中 Ω( t)為空間中任一活動的區域，д Ω( t)是其邊界， D是д Ω( t)的速度， n是д Ω( t的外法線方向單位向量。

　　以解流體動力學方程為內容的計算流體力學是從20世紀40年代中期，伴隨著電子計算機的出現，由於生產和科學研究的需要而發展起來的。第二次世界大戰期間，為瞭研究沖擊波在金屬中傳播的規律，J.馮·諾伊曼和R.D.裡希特邁耶提出瞭第一個一維拉格朗日方法。1959年，C.К.戈杜諾夫利用間斷分解的概念建立瞭一維的歐拉格式，成為後來的格利姆格式（又稱隨機選取法）的基礎。由於一維流體運動中不同質團之間是有序的，即其上下、左右、前後的相對位置不會改變，因而跟蹤質團的拉格朗日方法是很有效的，適合於解許多一維非定常流體力學問題。

　　二維流體力學的運動要比一維情況復雜得多。在二維流體運動中，質團之間不再具有象在一維流體運動中的有序的性質。這就給二維流體運動的計算造成瞭很多困難。

　　對二維流體力學計算方法的探索是在50年代中期從拉格朗日方法開始的，H.G.科爾斯基構造瞭第一個二維拉格朗日格式。然而在實踐中發現拉格朗日方法固然有它的優點，例如局部圖像可以算得比較精細，物質界面（包括自由面）容易處理，但是由於二維流體運動中可能出現嚴重的扭曲現象，因而容易造成網格翻轉，使計算不能繼續下去。不過對於一些扭曲不太嚴重的力學模型，特別是包含多種介質的模型，拉格朗日方法仍不失為一種基本的有效的方法。

　　為瞭使拉格朗日方法使用范圍更廣泛一些，避免網格翻轉，可以對拉格朗日方法作一些處理，其中比較有效的是重分網格。方法是在計算瞭一個或若幹個時間步長後將網格重新劃分，把因扭曲而顯得畸形的網格換成盡可能規整的新網格。其上的力學量根據舊網格上的力學量按照質量、動量、能量守恒的原則加以重新計算。當然這樣的拉格朗日方法已經不再是原來意義上的跟蹤流體質團的拉格朗日方法瞭。

　　歐拉方法沒有網格翻轉的問題，可以計算大的擾動。流體網格法（FLIC方法）就是一種典型的二維歐拉方法。但是當計算模型中包含有多種介質時，如果不加特殊處理，物質界面就會逐漸模糊，以致得不到正確的結果。自由面的計算也會碰到類似的問題。這裡困難主要在於計算過程中必定會出現含有兩種以上物質的混合網格，因而就提出瞭如何計算混合網格中的力學量，以及如何計算混合網格向周圍網格的輸運量的問題。

　　有一種辦法是在歐拉網格上跟蹤物質界面，隨時定出界面的位置。這樣在一個網格中哪一種物質占據哪一部分位置就很清楚瞭。以此為根據就可計算出混合網格中的力學量和通過它邊界上的輸運量。但在計算機上實現這種計算的程序是很復雜的。

　　質點網格法(PIC方法)是在歐拉網格上計算包含多種介質的模型的一種方法。把網格中的介質用若幹質點來表示，每個質點帶有某種介質的質量。借助於質點在網格間的運動計算出網格上的力學參量與網格間的輸運量。而不同介質的分界面通過打印質點分佈圖可以清楚地看出。但是在該方法中，網格間的輸運是以質點為單位的，所以計算結果往往有些跳躍，另一方面，由於引進瞭質點，故需要較大的存貯量。為瞭克服上述缺點，隨後出現的計算不可壓縮流體運動的標志網格法（MAC方法）就用無質量的標志來代替質點。在GILA方法中則采用隻在混合網格兩側兩三個網格內安放標志的辦法來降低對存貯量的要求。

　　拉格朗日方法和歐拉方法各有優缺點，也就是各有其適應的對象和范圍，因此逐漸發展瞭一些歐拉與拉格朗日相結合的方法，利用質點或標志的方法實質上就是歐拉和拉格朗日相結合的方法。在二維流體力學的計算中，有取一個空間坐標為歐拉坐標，另一個為拉格朗日坐標的混合歐拉-拉格朗日方法；有將求解區域劃分為若幹子區域，在一些子區域上用歐拉方法，在另一些子區域上用拉格朗日方法的耦合歐拉－拉格朗日方法。解方程(2)的方法稱為任意拉格朗日－歐拉方法（ALE方法）。在將方程組(2)離散化時，對每一個方程適當選擇積分區域Ω（例如可以取作一個網格，或者由幾個相鄰網格派生出來的某個區域），然後近似求積分。實際上拉格朗日方法和歐拉方法都可以看成是這種方法的特例。當區域Ω的邊界速度D等於流體速度u時，就得到拉格朗日格式；如果D取為零，就是歐拉方法；當D用其他規則給出時，就相當於在重分網格。

　　粘性　方程組(1)是擬線性雙曲型方程組，它的初值問題的解，不論初值函數如何光滑，都可能在經過有限時間後出現間斷。另一方面，即使初值函數是間斷的，解也可能是連續的。擬線性雙曲型方程組的解的這種特性反映瞭流體運動中沖擊波形成與消失的過程。如果簡單地把流體力學方程組進行有限差分離散化近似，由於差分算法不適應強間斷，計算結果在沖擊波後會出現劇烈的振動現象（圖1

）。這樣，在計算流體力學中就有一個如何計算間斷解（沖擊波）的問題。一般來說，有兩種計算沖擊波的方法。一種是擊波裝配法：將間斷面看成是塊塊連續解的邊界，在連續解的區域內用差分方法求解，而在間斷面上給出蘭金-許貢紐條件作為內邊界條件。另一種是擊波捕捉法：在建立差分格式時引入某些起粘性作用的項，將間斷解光滑化。這種方法對於處理可壓縮流體非定常運動中可能出現多個沖擊波、接觸間斷和一系列波的相互作用的復雜圖像是比較有效的。

　　馮·諾伊曼和裡希特邁耶在建立一維拉格朗日格式時，就將被稱為人為粘性的量q引進拉格朗日坐標系中的一維流體力學方程組。他們實際上是在解方程組

\ n

式中R與r分別表示介質的歐拉與拉格朗日坐標； V為比容，等於密度的倒數； l與ρ ₀分別是具有長度和密度量綱的給定的量。相應的差分方程組為

\ n

式中

表示在點

處的 V值，其他量類推； α為無量綱常數。當 α=1、2～3時，利用這個差分格式計算所得的沖擊波圖像有3～4個網格的過渡區，馮·諾伊曼和裡希特邁耶引進的人為粘性起到瞭光滑化原始解的沖擊波間斷的作用，但並不是在方程組中任意引進高階導數項都能起到光滑化間斷解的作用。例如，在能量守恒方程中引進熱傳導項，當沖擊波比較弱時可以光滑化原始解的沖擊波間斷，但當沖擊波相當強時，則起不瞭光滑化作用。

　　人為粘性還有不少其他的形式，如

　 (3)

式中 μ，ⅹ∈[0，1]。當 μ＝0時，(3)是線性的；當 μ＝ⅹ＝1時，(3)為馮·諾伊曼與裡希特邁耶所提出的粘性。人為粘性也可以取成線性形式與非線性形式的組合等等。

　　二維流體運動的擾動現象，主要不是由於壓縮機制，而是由於剪切滑移機制所造成的。在二維計算中，引進標量型的人為粘性項，可以緩和壓縮過程，但是對剪切滑移過程影響不大。所以在有的格式中，考慮緩和剪切滑移過程的作用，引進瞭形式相當復雜的人為粘性張量。但是也有一些計算流體力學方程的差分格式並未引進人為粘性。例如求解擬線性雙曲型方程

的拉克斯格式

就沒有引進人為粘性。可是如果將拉克斯格式改寫成以下形式：

就看出拉克斯格式是逼近微分方程

的簡單顯式格式，式中

。這裡，在差分格式中，隱含著某種相當於粘性作用的高階導數項。這樣的項稱為格式粘性。戈杜諾夫格式、高階精確度的拉克斯－溫德羅夫格式都屬於這一類型本身包含著格式粘性的差分格式。

　　格式的穩定性分析　流體力學方程組的差分格式是一組非線性的差分格式。關於它的穩定性通常是采用簡單的在理論上並不嚴格的近似考察辦法來討論。例如，先把差分方程組線性化，把系數看作常數，然後用拉克斯－裡希特邁耶關於常系數差分格式的穩定性理論來進行分析，把分析結果所得到穩定性條件中所包含的系數仍然恢復到原來非線性形式。但是在使用這些穩定性條件當作計算過程的判據時，需要增加一些安全因子，可以用試算的辦法來估計其取值的范圍。

　　另一種簡單近似考察的辦法是C.W.希爾特提出來的。首先把差分格式在某確定點上作泰勒級數近似展開，將高階誤差項略去，隻留下最低階的誤差項，得到一個新的微分方程，稱為差分格式的微分近似方程。如果差分格式與原微分方程是相容的，那麼所得的新的微分近似方程比原方程隻增加瞭一些含小參數的較高階導數的附加項。由於差分格式也可以看作是和新的微分近似方程相容的，因而差分格式的微分近似方程問題的適定性，就應該是差分格式穩定的必要條件。這種檢驗是任何穩定的差分格式必然應該通過的一種判別，使用比較方便，是很有用的。

　　定常流　如果考慮的不是理想而是實際的帶粘性並具有熱傳導性質的流體，則用來描述流體運動的是納維-斯托克斯方程組

　　 (4)

式中

這裡

表示單位張量，(▽ u)′為▽ u的轉置； K（ ρ， e）為介質的熱傳導系數；λ( ρ， e)和 μ( ρ， e)為介質的粘性系數，它們滿足關系

μ≥0； T是溫度，它與內能 e及密度 ρ的關系由狀態方程 e= e( ρ， T)給出。當流體的運動與時間的變化無關時，就得到定常的納維-斯托克斯方程組，即為方程組(4)左端第一項等於零的方程。定常的納維-斯托克斯方程組在特殊情況下可以是橢圓型的、拋物型的或雙曲型的，一般地說來，可以是退化的、混合型的，並且依賴於未知解的。偏微分方程組定解問題的提法因類型不同而有顯著差別。定常的納維－斯托克斯方程組的類型比較復雜，因而它的定解問題的提法也很復雜。

　　在許多特定場合，借助於偏微分方程類型的概念及問題的物理意義來分析研究解的數學性質以及定解問題的提法是有可能的。通常，對定常流問題是在對流場結構有清晰瞭解的基礎上才進行數值近似求解。有時從物理的角度對問題作某種簡化不僅能反映出物理問題的本質，而且使問題的數學性質更加清楚。例如為瞭研究某些簡單物體表面（如平板）附近的粘性效應，在雷諾數充分大的假定下，可以導出稱作普朗特方程組的附面層方程組。這類方程是拋物型的，對於它的各種定解問題有大量的理論研究和數值解法的研究。

　　忽略粘性和熱傳導的作用，定常的納維-斯托克斯方程組就化為理想流體的歐拉方程組

這個一階擬線性方程組，如果用馬赫數

＝| u|/с(с為聲速)作為特征參數，則在

＞1處(即超聲速區)是雙曲型的，在

＜1處(即亞聲速區)是橢圓型的，在

=1處(即聲速區)是拋物型的，或是在此處方程組類型發生過渡。這裡，方程組的類型依賴於流體速度 u及聲速с，因而事先是未知的。

　　鈍頭體無粘超聲繞流的流場結構正是這種混合橢圓雙曲型的一個典型例子。當超聲速氣流繞過鈍頭物體時，產生一個脫體沖擊波。氣體在頭部前緣受壓縮而形成亞聲速區，當氣體側向流動時逐漸加速，經聲速線過渡到超聲速區（圖2

）。

　　在二維無旋流場上，如果引進速度勢函數φ，理想流體的歐拉方程組就化為速度勢方程

式中 u＝ φ _x，υ＝ φ _y。這個二階擬線性偏微分方程，當| u|>с時是雙曲型的，當| u|＜с時是橢圓型的，當| u|＝с時是拋物型的。

　　如上所述，在定常流中，求解區域可能是由亞聲速區、超聲速區以及各種內、外邊界所組成。外邊界可以是固體表面、流入流出的界面、沖擊波面、自由面等；內邊界可以是沖擊波面、稀疏波的邊界、接觸間斷、滑移面、聲速面等。在對流場有定性瞭解之後，就可在所有內外邊界上給定相應的條件作為邊界條件，而在光滑區內根據微分方程組的類型進行差分離散化近似。這樣就避免瞭跨越間斷線的差分，因而可以不降低差分格式的精確度。這種近似數值方法稱為分離奇性法。這種方法可以用來計算間斷的相交和波的反射，以及沖擊波的形成過程。

　　除差分方法外，還有許多適合於解定常流問題的數值方法。例如特征線法、積分關系法、有限元方法等等。最初，特征線法被廣泛地用來解二維雙曲型方程組的初邊值問題。它的優點是力學意義鮮明，並具有二階精確度。但是在應用到三維定常流問題時，它遇到瞭幾何上較大的困難，使其進一步發展受到瞭限制。

　　20世紀50年代初期，A.A.多羅德尼岑提出的積分關系法第一次成功地解決瞭當時被認為十分困難的鈍頭體超聲速繞流中跨聲速流場的計算問題。60年代積分關系法在空氣動力學各種問題中得到瞭廣泛的應用，成功地解決瞭一系列二維問題，例如回轉體的亞聲速及跨聲速繞流，管道流及邊界層問題等等。積分關系法是直線法的發展。它的基本思想是將難於求解的偏微分方程問題化為常微分方程問題解決。此外，還有其他途徑（如直線法、級數法等）也能將偏微分方程化為常微分方程組求解。近來，有限元方法也被廣泛地用來解流體力學問題。

　　定常流問題的解還可以看作是相應非定常問題在時間充分大時的漸近解。非定常問題定解條件的提法相對來說要簡單得多。因此，用計算相應非定常問題漸近解的辦法代替解定常問題，可以避免混合型定常方程組帶來的處理困難，例如用二維非定常問題的計算方法來計算具有混合型流場的鈍頭體繞流是十分成功的。

　　數值求解中，在將方程組及邊界條件離散化時，一般要求內點格式必須與邊界格式相適應或相匹配。常有這樣的情況，由於內、外邊界條件的離散化不合適，計算結果出現振蕩以致無法進行下去。此外，在使用高階精確度格式或增加光滑化項時，會發生要求增加邊界條件的情況。如何處理好這些問題，對計算的穩定性影響極大。