巴拿赫空間中的微分方程。是常微分方程理論在無限維空間中的發展，研究可數無窮個常微分方程、泛函微分方程需要巴拿赫空間或希爾伯特空間的理論。它也是用常微分方程的思想和方法，研究偏微分方程的重要工具。
設X是巴拿赫空間，D是X中的開集，J是實軸上的開區間，函數f∶>J×D→X是連續的。微分方程
(1)
是常微分方程組在巴拿赫空間
X中的自然推廣。設開區間(α，
β)⊂
J，
φ：(α，
β)→
X是強可微的，並且在開區間(α，
β)中成立恒等式
就稱
x=
φ(t)是微分方程(1)的解。
解的存在性 當f關於x滿足李普希茨條件（見常微分方程初值問題）時，利用逐次逼近法可以證明：對於給定的初值(t0，x0)∈J×D，微分方程(1)滿足初值條件
(2)
的解存在且惟一。然而，和常微分方程組的情形不同，僅有f 的連續性不足以保證微分方程(1)滿足初值條件(2)的解的存在性。例如，設с
0表示滿足
的數列全體所成的空間，它的元素
x的范數（見
巴拿赫空間）為‖
x‖=sup│
x
k│。在空間с
0中考察含無窮個方程的常微分方程組
(3)
初值條件為
(4)
顯然，(3)的右端f是с
0上的連續函數。但是，在с
0中不存在方程(3)滿足初值條件(4)的解。為瞭推廣柯西—皮亞諾定理（見
常微分方程初值問題）到巴拿赫空間中的微分方程(1)，需要利用有界集的非緊性測度。設
B是有界集，它的非緊性測度是α(
B)=inf｛
d＞0：能用有限個直徑小於
d的集覆蓋
B｝。如果f：
J×
D→
X連續，並且對於
D的任一有界子集
B成立關系式 α(f(
J，
B))≤ω(α(
B))，其中ω：[0，+
)→[0，+
)連續，而常微分方程
的以(
t
0，0)為初值的惟一解是ρ ≡0；那麼微分方程(1)以(
t
0，
x
0)∈
J×
D為初值的解是存在的。它的證明需要利用紹德爾不動點定理（見
不動點理論）。
許多有關常微分方程組的定理，諸如初值問題解的惟一性定理等，都可移到巴拿赫空間中的微分方程(1)。
線性方程 當f(t，x)≡A(t)x+b(t)時，方程(1)成為線性方程
(5)
M.Γ.克列因、J.L.馬塞拉等曾討論
A：
J→
L(
X)，
b∶
J→
X連續的情形，其中
L(
X)表示
X上有界線性算子（見
線性算子）。這時，方程(5)以(
t
0，
x
0)∈
J×
D為初值的解存在且惟一，並且在
J上成立常數變易公式
式中
U(
t，
s)∈
L(
X)，滿足關系：
U(
t，
τ)
U(
τ，
s)≡
U(
t，
s)，
U(
s，
s)≡
I和
稱
U(
t，
s)是相應於(5)的發展算子。特別，當
A(
t)≡
A是
X上的線性有界算子時，
克列因還討論瞭
A(·)具有周期ω的情形，推廣瞭周期系數線性常微分方程組的理論。對於非線性微分方程
(6)
假設
g：
J×
X→
X連續，
J=[0，+
)，人們還討論瞭零解的穩定性，推廣瞭A.M.李亞普諾夫關於穩定性的有關結果（見
常微分方程運動穩定性理論）。
但是，對於偏微分方程，例如熱傳導方程
(7)
不能化為具有有界算子
A(
t)的線性方程(5)。若以
H
0
1表示區間[0，1]上一階導數平方可積且在0和1取值為0的實連續函數全體當賦以范數
時所構成的希爾伯特空間，又記
x（
t）=
u（
t，·），
b(
t)=
b(
t，·)，而當
u(
s)二階導數平方可積時，
那麼(7)可以化為
X=
H
0
1上的線性方程
(8)
但這裡，
A是
H
0
1上的無界線性算子。因此，在無限維空間中有必要研究
A為無界算子時的線性方程(8)。
設線性算子A的定義域D(A)是X中的稠密集，A還是閉算子，如果當λ>β時A的預解算子(λI-A)-1(見線性算子)是X上的有界線性算子，並且成立不等式
其中
M＞0是常數，那麼根據希爾-吉田耕作定理，
A是
X上的線性有界算子半群
T(
t)(
t≥0)的母元。如果
b：
J→
X強可微，可以證明：常數變易公式
(9)
給出微分方程(8)的解。由它可得熱傳導方程、波動方程等解的公式。當
b：
J→
X是博赫納可積時，表達式(9)的右端是強連續的，稱為(8)的軟解。
加藤敏夫、田辺広城以及∏.E.索伯列夫斯基等還討論瞭A(t)是X上的無界線性算子時的微分方程(5)，給出瞭發展算子U(t，s)存在以及常數變易公式成立的條件。
為適應非線性拋物型偏微分方程理論、分佈參數系統、控制理論等的需要，人們又進一步討論瞭半線性發展方程
(10)
式中
A(
t)是
X上的無界線性算子，f：
J×
D→
X是連續的；還研究瞭非線性壓縮半群所產生的非線性方程。
在抽象空間微分方程研究中，除解的存在性、惟一性、解對初值的連續性、常數變易公式外，還有人研究周期解的存在性、惟一性，解的穩定性，分歧現象，等等問題，並且研究解的全局結構、高階微分方程等。
關於解的概念，除前述的以強導數為依據的解的概念外，還有以弱導數為基礎的弱解的概念等。