當一元方程f(z)=0的左端函數f(z)不是z的多項式時，稱之為超越方程。這類方程除極少數情形（如簡單的三角方程）外，隻能近似地數值求解，此種數值解法的研究至今仍是計算數學的主要課題。超越方程的數值解法也適用於代數方程。
數值求解超越方程時首先需要確定解的分佈區域，它可以利用圖解法或者根據f(
二分法 利用中值定理計算實函數實根的簡單易行的方法，算法如下：
設區間[α0，b0]滿足條件f(α0)f(b0)＜0，[α0，b0]的二等分點為
計算f(
x
0)的值，若f(
x
0)=0，即為所求解；若f(
x
0)f(α
0)＜0，取α
1=α
0，
b
1=
x
0作為新的區間端點；若f(
x
0)f(α
0)>0，取α
1=
x
0，
b
1=
b
0作為新區間的端點。[α
1，
b
1]的二分點為
計算f(
x
1)的值並重復上述步驟以確定新的區間[α
2，
b
2]，如此繼續下去。則得到區間序列[α
k，
b
k](
k=0，1，…)，它滿足f（α
k）f（
b
k）＜0，並且
當
b
k-α
k達到指定的精確度要求時，則取
為方程的解，它與精確解的誤差不超過
迭代法 解超越方程的主要方法，既適用於求實根，也適用於求復根。使用這類方法時一般需要知道根的足夠好的近似值。最常用的方法有牛頓法、割線法、二次插值法、雙曲插值法、切比雪夫迭代法、艾特肯δ2加速方法和斯梯芬森方法等。
牛頓法 也稱切線法，其計算公式為
z
0為事先選定的根的初始近似。設
z
為 f(
z)的根，若f(
z)在
z
的某鄰域內二次可微，且f′(
z
)≠0，則當
z
0與
z
充分接近時，牛頓法至少是二階收斂的，即當
k充分大時有估計式
成立，
C為確定的常數。一般說來，牛頓法隻具有局部收斂性，即僅當初始近似與根充分接近時才收斂。但是，當f(
x)為實函數，且於[α，
b]上f′(
x)和 f″(
x)不變號時，若f(
x)於[α，
b]上有根，則隻要初始近似
x
0滿足條件f(
x
0) f″(
x
0)>0，牛頓法就收斂。一般情形，為減弱對初始近似的限制，可利用牛頓下降算法，其算式為
ω
k＞0為迭代參數，由條件│f(
z
k
+1)│＜│f(
z
k)│確定，牛頓法的
k+1次近似
z
k
+1是f(
z)在
z
k處的泰勒展開式的線性部分的根。
割線法 又稱弦位法，其算式為
z
0、
z
1為初始近似。若f(
z)於其根
z
的某鄰域二次連續可微，且f′(
z
)≠0，則
z
0、
z
1與
z
充分接近時，割線法收斂於
z
，並當
k充分大時有估計式
式中
C為常數，
割線法的
k+1次近似
z
k
+1是以
z
k、
z
k
-1為插值節點的線性插值函數的根，如果利用更精確的近似表達式則可構造出更高階的迭代法。
二次插值法 亦稱繆勒方法，是利用二次插值多項式構造的迭代算法。設已確定瞭zk、zk-1、zk-2，則zk+1就取為以zk、zk-1、zk-2為節點的二次插值多項式兩個根中與zk最接近者，其算式為
式中“±”號選成使分母的模為最大者，而
－
式中
當分母為0，則λ
k=1。
雙曲插值法 利用線性分式插值構造的迭代算法，其算式為
式中
μ
k、δ
k、Δ
z
k和f
k的意義與二次插值法相同。
若f(z)在其根z
的某鄰域內三次可微，並且
z
0、
z
1、
z
2與
z
充分接近，則二次插值法和雙曲插值法均收斂。此外，如果f′(
z
)≠0，對充分大的
k，有估計式
式中
C為確定常數，τ為方程式
t
3-
t
2-
t-1=0的惟一正根，τ＝1.839…。
切比雪夫迭代法 三階收斂的方法，其算式為
當f(
z)在其根
z
的鄰域內三次可微且f′(
z
)≠0時，對充分大的
k，有
C為確定常數。
艾特肯δ2加速方法 提高迭代法收斂速度的有效算法，設{zk}為迭代序列，δ2加速的算式為
若f(
z)在其根
z
處充分光滑，且f(
z
)≠0，則對充分大的
k，有
並且若
z
k是
p(
p＞1)階收斂，即
C
0均為常數。當f′(
z
)=0時也有加速作用。此算法可以循環使用。
斯梯芬森方法 不算微商而二階收斂的方法，其算式為
它可由迭代算法
循環使用 δ
2程序導出。
所有的迭代法用於求重根（即f′(z
)=0）時，其收斂速度將變慢，收斂階將降低。
為求得達到所需精度的解而花費的代價是評價迭代法優劣的依據，效能指數是其重要指標，它定義為p1/μ，p為收斂階，μ為每步需要計算的函數值和微商值的總數。效能指數越大，說明方法越好。二分法及上述各種迭代法的收斂階（單根時和重根時）和效能指數如表。
各種迭代法的收斂階和效能指數
隻有當初始近似與解充分接近時，迭代法才收斂，這是所述算法的共同特點。減弱對初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例如，牛頓法中引進下降因子。對一些特殊函數類（如單調函數，隻有實根的解析函數等）的大范圍收斂迭代算法也有一些研究工作。
參考書目
A.Ostrowski，Solutions of Equations in Euclidean and Banach Spaces，3rd ed.，Academic Press，New York，1973.
J.F.Traub，Iterative Methods for the Solution of Equations，Prentice-Hall，Englewood Cliffs，New Jersey，1964.