常微分方程定性理論

　　通過微分方程（形如

）右側函數的性質來研究其解的性態的理論。由於絕大多數 微分方程不能用初等函數的積分來表出通解，而且在工程、物理學、天文學中出現的微分方程又並不一定要求出解，而隻需要知道解的某些性質，因此定性理論在微分方程理論中和實際應用上都佔有重要地位。19世紀30年代， C.-F.斯圖姆對多項式根根的分佈問題的研究是大傢熟知的。同時他也把這種定性思想應用到 常微分方程，獲得瞭重要和有趣的結果，即有關解的零點分佈的有名的斯圖姆比較定理和振動定理。19世紀末， （J.-）H.龐加萊和 Α.М.李亞普諾夫把這種定性思想應用於對天體力學一般問題的研究，比較系統地發展瞭一套研究非線性微分方程的定性方法。龐加萊的《微分方程所定義的積分曲線》和李亞普諾夫的《運動穩定性理論》是定性理論中的經典著作，而龐加萊的幾何方法乃是後來蓬勃發展起來的 代數拓撲學和 微分拓撲學的先驅，對近代數學的發展起瞭積極的推動作用。

　　20世紀20年代，荷蘭無線電技術工程師范德坡對電子三極管的振蕩電路建立瞭一個數學模型（即范德坡方程：ẍ+μ(x²-1)ẋ+x=0，μ＞0），而且由此發現三極管的穩態振蕩對應於龐加萊的穩定極限環。這一事實首先引起瞭蘇聯學者，然後是歐美學者的極大興趣，推動瞭微分方程定性理論廣泛地發展。可以說，常微分方程定性理論已經構成近代非線性分析中重要的一章，它對其他分支的研究有可貴的參考價值。

　　下面就二、三階微分系統介紹一些基本的定性思想方法。

　　平面駐定微分系統　給定平面微分方程

　　　(1)

其右側函數在 R ²(歐氏平面)上定義瞭一向量場( P( x， y)， Q( x， y))，由於 P、 Q與 t無關，稱它為定常場，對應的微分方程稱為定常（微分）系統，或駐定（微分）系統，也稱自治系統；當 P、 Q依賴於 t時，對應的微分方程稱為非駐定（微分）系統。

　　奇點　在(1)中假設P、Q在區域

上連續可微，令( x ₀， y ₀)∈ D，若( x ₀， y ₀)是 P( x， y)=0及 Q( x， y)=0的解，則( x ₀， y ₀)叫做方程的奇點，否則叫做常點。向量場( P( x， y)， Q( x， y))在常點有確定的方向( P( x ₀， y ₀)， Q( x ₀， y ₀))，即上方程通過點( x ₀， y ₀) 的軌線在此點有確定的方向。所謂軌線，即方程的解在 R ²中所確定的曲線，也即點隨 t而變化的軌道。於是由解對初值及右側函數的連續依賴性，在常點充分小鄰域內的軌線便幾乎平行，故從局部看，其結構異常簡單，無須研究。而向量場( P( x， y)， Q( x， y))在奇點為零向量，它無確定的方向，但 x= x ₀， y= y ₀是方程的解，即奇點也是方程的(退化的)軌線，而且在奇點鄰域內的軌線分佈(或叫奇點的結構)一般說來異常復雜。不失一般性，設奇點為坐標原點(0，0)，由泰勒公式可把上述方程寫成 ẋ=α x+ b y+ P ₁( x， y)， ẏ=с x+ d y+ Q ₁( x， y)其中 P ₁， Q ₁是當 x→0， y→0時比 高階的無窮小量。奇點(0，0)的結構與特征方程 ＝0的根λ ₁、λ ₂密切相關。當 時，(0，0)叫做初等奇點。此時可經非退化的線性變換將上方程所對應的線性方程 ẋ=α x+ b y， ẏ=с x+ d y化為標準型，將變換後的變量仍以 x， y表示，則線性方程奇點的結構可化為下列幾種情形：

　　① λ₁與λ₂為同號實根，奇點(0，0)叫結點。從結點的充分小鄰域內出發的任何軌線都沿確定方向無限趨近它(當t→+

或 t→- ，視λ ₁和λ ₂為負或為正而定)。若λ ₁≠λ ₂，方程可化為 ẋ=λ ₁ x， ẏ=λ ₂ y，以0>λ ₁＞λ ₂為例，其圖形為圖1 之a。若λ ₁=λ ₂，且初等因子是單的，方程同(α)，以λ ₁＜0為例，其圖形如圖1之b。若λ ₁=λ ₂，且初等因子是重的，方程可化為 ẋ=λ ₁ x， ẏ=- x+λ ₁ y，其圖形如圖1之c。

　　② λ₁與λ₂為異號實根，奇點(0，0)叫鞍點。從鞍點的充分小鄰域內出發的軌線，有二條當t→+

時沿確定方向無限趨近它，而另有二條當 t→- 時沿確定方向無限趨近它，這四條軌線叫做分界線，其餘軌線都雙側離開此鄰域。這時方程如①中λ ₁≠λ ₂的情形，以λ ₁＞0>λ ₂為例，其圖形如圖1之d。

　　③ λ_1，2=α±iβ，α，β≠0，奇點（0，0）叫焦點。從焦點充分小鄰域出發的軌線都螺旋形地無限趨近它（當t→+

或 t→- ，視α為負或為正而定）。此時方程可化為 ẋ=α x+ β y， ẏ=- β x+α y。以α＜0、 β＞0為例，其圖形如圖1之e。

　　④ 當λ_1，2=±iβ，β≠0，奇點(0，0)叫中心。在中心的充分小鄰域內都是圍繞中心的閉軌線（如圖1之f）。加上高次項P₁和Q₁後，當P₁和Q₁是x、y的解析函數時，奇點(0，0)或是中心或是焦點。中心和焦點的判別一般來說需要進行無限步的代數運算或積分運算。

　　綜上所述，平面線性系統的孤立奇點不計時間走向共有三種不同拓撲結構：中心、鞍點、焦結和結點；後兩者的拓撲結構相同，即其圖形隻差一個拓撲變換。另外，當特征根實部(α)不為零時，Д.格羅佈曼和Р.哈特曼證明，在奇點的鄰域存在連續變換u=η₁(x，y)，v=η₂(x，y)，其中η₁(0，0)=η₂(0，0)=0，當x=y=0時，

，將原方程變為線性方程􀌀=α u+ b v，輈=с u+ d v，將軌線變為軌線且保持時間定向。這就是著名的線性化定理，它不限於二階系統。由此推得，當特征根實部不為零時，原方程奇點的拓撲結構由相應的線性方程決定。

　　高次奇點　當Δ=0時，特征根至少有一個為0，(0，0)叫非初等奇點。其結構一般比初等奇點更為復雜。而當α、b、с、d不全為0，P、Q有對x、y的足夠高階的連續偏導數時，除瞭中心和焦點的判別問題外，這類奇點結構的判定已徹底解決。當α、b、с、d全為0時，(0，0)叫高次奇點，此時原方程可化為

其中 X _m和 Y _n分別是 x、 y的 m和 n次齊次式， m、 n＞1，而 P ₂和 Q ₂是當 x→0， y→0時分別比 和 高階的無窮小量。對齊次奇點來說(即 m= n)，問題解決得較為完整。對非齊次奇點常用佈裡奧－佈凱變換 x= x， y= u x，或由此推廣的弗羅默變換 x= x， y= u xγ來研究奇點的結構，其中γ為正有理數。

　　奇點指數　若(0，0)是孤立奇點，則可作一光滑單閉曲線l圍繞(0，0)，使得由l所圍成的閉區域上隻有惟一的奇點(0，0)。當點(x，y)沿l逆時針方向轉一周時，始點在原點的單位向量

其終點繞原點盤旋圈數的代數和叫做奇點(0，0)的指數，記為 J( P， Q)，或簡記為 J，其中繞逆(或者順)時針方向一圈記為1（或-1）。 J與 l取法無關，而且 J是反映奇點某些拓撲性質的一個整數。結點、焦點和中心的指數為1，鞍點的指數為-1。當 P、 Q是 x、 y的解析函數，且(0，0)是孤立奇點，有公式 J( P， Q)= J( X _m， Y _n)。中國已有人證明 J( X _m， Y _n)可通過對齊次式 X _m和 Y _n的有限步有理運算求得。

　　極限環　微分方程ẋ=P(x，y)，ẏ=Q(x，y)在相平面XOY上的孤立的閉軌線L叫做極限環。若當t→+

（或 t→- ）時，從 L的某個鄰域內出發的一切軌線都無限趨近 L，則 L叫做穩定(或不穩定)極限環。若當 t→+ 時，在 L的一側鄰域內的軌線趨近 L，而另一側的軌線遠離 L，則 L叫做半穩定極限環。關於極限環問題研究得比較多的是平面多項式系統，即 P和 Q都是 x、 y的多項式；還有利埃納爾方程： ẍ+f( x) ẋ+ g( x)=0或它的等價方程組

其中 而范德坡方程是它的特例。關於極限環研究的主要問題是它的存在性、個數、穩定性和相對位置，以及當 P、 Q中含有參數時極限環隨參數的變化情形等。證明存在性主要用龐加萊－本迪克松環域定理：若在相平面上存在由兩條單閉曲線圍成的環域 G，方程在 G內無奇點，而且方程的從環域內外邊界上出發的軌線都進入（或都離開） G，則在 G內存在閉軌線 L。關於閉軌線的穩定性判據是：若

則 L是穩定（或不穩定）的。

　　關於利埃納爾方程極限環的存在惟一性問題早期的重要工作屬於N.萊溫松、G.桑索內等人，他們提供瞭證明惟一性的一些方法。迄今為止關於存在性問題較好的結果是Α.Φ.菲利波夫的工作。由於相鄰的閉軌不能具有相同的穩定性，估算發散量div(P，Q)沿閉軌的積分成為當今證明極限環惟一性和個數問題的主要方法。例如范德坡方程等價於方程組

故此方程至多有一個極限環，且是穩定的。當然，對於一般的利埃納爾方程的極限環個數的研究就困難瞭。除瞭蘇聯以外，中國學者對利埃納爾方程極限環的存在性、惟一性和個數等方面的原有結果做瞭實質性的推進。

　　D.希爾伯特於1900年在國際數學傢大會上提出的第16問題的後半部分是：給定微分方程

　　　　( E _n)

式中 P _n、 Q _n是次數不高於 n的實系數多項式，問它最多有幾個極限環以及它們的相對位置如何，即對一切這樣的 n次系統，能否估算出它們極限環個數的最小上界 E( n)。

　　對一般的n次多項式系統(E_n)，由於問題很困難，數十年來進展甚微。隻有H.杜拉克於1923年證明瞭對任一確定的(E_n)系統，其極限環個數為有限。但最近有人發現其證明有不完善之處，並對(E₂)系統的證明作瞭彌補。另外S.P.迪利貝托對(E_n)的強穩定或強不穩定極限環（沿著環

）證得

又若極限環都包含同一奇點，則

　　自50年代起，中國數學傢致力於(E₂)系統的研究，取得瞭一系列有趣的結果，並將可能出現極限環的(E₂)系統分為三類：

　　　(Ⅰ)

　　　(Ⅱ)

　　　(Ⅲ)

式中P₂(x，y)=-y+δx+l²+mxy+ny²。經過國內外數學傢的共同努力，關於(Ⅰ)類方程極限環個數與全局結構問題已徹底解決，如已證得此時E(2)=1。對(Ⅱ)、(Ⅲ)類方程也取得不少進展。1952年H.H.鮑京證明：(E₂)系統在一個焦點鄰域內最多而且可以出現三個極限環。中國數學傢利用他的結果，首先構造出相當廣泛的一類(E₂)系統，它們至少有四個極限環；還證明(E₂)系統的極限環隻能集中分佈在兩個焦點外圍，若此系統最多有三個極限環，則它們的相對位置如圖2，並舉例子予以實現。

　　空間駐定微分系統　

　　奇點　給定空間微分系統

　　 　　

　　　(2)

式中 P、 Q、 R在區域 (歐氏空間)上連續可微。令（ x ₀， y ₀， z ₀）∈ D，若

則( x ₀， y ₀， z ₀)叫做(2)的奇點；否則( x ₀， y ₀， z ₀)叫做常點。不妨設( x ₀， y ₀， z ₀)=(0，0，0)，由泰勒公式可把（2）寫成

其中 P ₁、 Q ₁、 R ₁是當 x、 y、 z→0時比 高階的無窮小量。奇點(0，0，0)的結構與特征方程

的根λ ₁，λ ₂，λ ₃密切相關，其中至少有一個是實根。當

時，(0，0，0)叫簡單奇點。可經非退化的線性變換將上方程所對應的線性方程化為標準型，將變換後的變量仍以 x， y， z表示，則線性方程奇點的結構可以分為下列幾種情形。

　　① λ₁、λ₂、λ₃為同號實根，奇點(0，0，0)叫結點。從結點充分小鄰域內出發的任何軌線都沿確定方向無限趨近它。(i)若λ₁、λ₂、λ₃互異，方程可化為ẋ=λ₁x，ẏ=λ₂y，ż=λ₃z，在任一坐標平面xy、yz、xz上的圖形如圖1之a。(ii)若λ₁=λ₂≠λ₃，且對應的初等因子是重的，方程可化為ẋ=λ₁(x+y)，ẏ=λ₁y，ż=λ₃z，以λ₁＞λ₃＞0及λ₃＞λ₁＞0為例其圖形分別如圖3

a之(b) ₁及(b) ₂。(iii)若λ ₁=λ ₂≠λ ₃，且對應的初等因子是單的，方程同(i)，以λ ₁＞λ ₃＞0及λ ₃＞λ ₁＞0為例其圖形分別如圖3之b及圖3之c。(iv)若λ ₁=λ ₂=λ ₃，且對應的初等因子是單的，方程同(i)，軌線是從(0，0，0)出發的所有半射線。(v)若λ ₁=λ ₂=λ ₃，初等因子是重的，方程可化為 ẋ=λ ₁ x+ m y+ n z， ẏ=λ ₁ y+ p z， ż=λ ₁ z，此時又可分 p=0和 p≠0兩種情形。

　　② λ₁，λ₂，λ₃為異號實根，奇點(0，0，0)叫鞍結點。(i)若λ₁、λ₂、λ₃互異，方程同①中(i)，以λ₁＜0，λ₂＞λ₃＞0為例，其圖形如3之d。(ii)若λ₁=λ₂，且對應的初等因子是重的，方程同①中(ii)，以λ₁＞0>λ₃為例，其圖形如圖3之e。(iii)若λ₁=λ₂，且對應的初等因子是單的，方程同①中(iii)，以λ₁＞0>λ₃為例，其圖形如圖3之f。

　　③ λ₁、λ₂為共軛復根，λ₁=r+is，λ₂=r-is。(i)若rλ₃＞0，(0，0，0)叫結焦點，以r＜0，λ₃＜0為例其圖形如圖3之g。(ii)若rλ₃＜0，(0，0，0)叫鞍焦點，以r＞0>λ₃為例，其圖形如圖3之h。(iii)若r=0，(0，0，0)叫中心焦點，以λ₃＜0為例，其圖形如圖3之i。

　　綜上所述，空間線性常微分系統的孤立奇點不計時間走向共有三種不同的拓撲結構：中心焦點，鞍結點和鞍焦點，結點和結焦點。如同平面系統，當特征根實部不為零時，加上高次項P₁、Q₁、R₁後，奇點的拓撲結構不變，否則，奇點的結構依賴於高次項，一般來說異常復雜。

　　周期解　給定空間駐定系統(2)，研究(2)的周期解（相空間的閉軌線）的存在性主要有龐加萊的環原理：①若在相空間存在無切環面，其內無奇點；②又若在環體內有一無切的經圓面，從其上出發的軌線都將再次與它相交，則環體內存在(2)的閉軌線L。值得註意的是，僅有條件①不足以保證環體內閉軌的存在性，在這方面有著名的施瓦爾茨反例。

　　設L的周期為T，任取點Q∈L，在四維空間(x，y，z，t)中，在t=0超平面上取Q的充分小鄰域N_Q，定義龐加萊映射φ(P，T)：N_Q→R³，其中φ(P，t)是(1)的軌線，φ(P，0)=P。顯然Q是映射的不動點，即φ(Q，T)=Q。因(2)是駐定系統，導映射Dφ(Q，T)(線性的)的一個特征根必為1，它的另外兩個特征根決定導映射Dφ(Q，T)在不動點Q鄰域的結構，而後者與平面線性奇點的結構異常相似，並且後者又決定L鄰域的幾何特征。如Dφ(Q，T)的另兩個特征根模都不為1，則L叫雙曲的；若其模都小於1，則L是正向漸近穩定的；若其模都大於1，則L是負向漸近穩定的（見常微分方程運動穩定性理論）。

　　平面周期微分系統　周期運動，如靜止點(即奇點)一樣，是許多微分系統重要的穩態過程。為瞭簡明起見，考慮一個周期的二階微分系統：

　　　(3)

式中光滑函數 P和 Q對 t的(最小)周期等於 T ₀。令 r是(3)的一個 T周期解，若 T= T ₀，則稱 r是調和解。若 T= m T ₀（或 T ₀/ m）和整數 m>1，則稱 r是次（或超）調和解。常微分方程定性理論中的周期解問題通常是指如何確定各種周期解的存在性、個數、穩定性或幾何結構等。

　　由於(3)是非駐定的，龐加萊-本迪克松定理對它不能應用。這裡值得一提的一般原理是J.L.馬塞拉在1950年證明的定理：若(2)的每個解都在[0，

)上存在，而且其中至少有一個是有界的，則(2)至少有一個調和解。

　　起源於天體力學研究中的小參數方法一直是分析周期解的重要工具（見常微分方程攝動方法）。

　　拓撲不動點技術起源於龐加萊對周期解的研究。以φ(P，t)表示(3)的過點P的軌線，即φ(P，0)=P。顯然龐加萊映射φ(P，T)：R²→R²的不動點（或m階周期點）對應(3)的調和解（或m階次調和解）。且如上面所述，前者的局部拓撲結構決定後者的幾何特征。如當不動點是雙曲的，對應的周期解也是雙曲的，如當在不動點鄰域出現異狀點，即不動點的ω分界線和α分界線（見拓撲動力系統）橫截相交，則(2)有無窮多個次調和解且有非平凡的回復運動。

　　總之，研究一個二階的周期微分系統相當於分析一個二維的離散微分動力系統，或通過扭擴相當於一個三維的微分系統。

　　龐加萊映射的不動點成為周期解問題的核心，如萊溫松對一類耗散系統ẍ＋f(x，ẋ)ẋ＋g（x）=p（t）成功地在相平面上構造出一個由分段光滑的單閉曲線所圍成的緊致區域Ω，使得φ(Ω)⊂Ω。因此，由佈勞威爾不動點定理（見不動點理論），φ至少有一個不動點。又若令

則 S是 φ的一個緊致連通不變集，而且它是吸引子。萊溫松最早註意到某些吸引子具有奇異性質或叫渾沌現象，於是引起瞭科學界的普遍重視，它是近年來十分活躍的一個分支。

　　非耗散系統的龐加萊映射一般是不可壓縮的。例如達芬方程ẍ+g(x)=p(t)的龐加萊映射φ是保面積的。這樣不可能再利用佈勞威爾定理，除非證明不變閉曲線的存在性。但後者現在還是一個難題，隻有對特殊的方程ẍ+2x³=p(t)，有瞭肯定的解答。所以對非耗散系統一般不是通過龐加萊映射而是采用泛函空間的分析技術來證明調和解的存在性，例如L.切薩裡等人發展瞭一套研究非耗散系統的調和解的很有用的泛函方法──備擇法。

　　近年來中國學者發現達芬方程的龐加萊映射具有某種“扭轉”性質，可以用來證明周期解的大量存在性問題（甚至對某些跨共振的情形）。

　　環面駐定微分系統　設有微分方程

　　　(4)

式中f對θ和 φ都是周期函數，周期為2π，即

式中 k、 l為整數。由於f的周期性，在(θ， φ)平面上的每一方塊區域 2 kπ≤θ＜2( k+1)π， 2 lπ≤ φ＜2( l+1)π上(4)的向量場都是和一個方塊

(5)

上的向量場一樣。於是，方程(4)的積分曲線也可僅限於在(5)上討論。把 θ看為圓周 C ₁上的坐標， φ為圓周 C ₂上的坐標，則( θ， φ)即為 C ₁和 C ₂的拓撲積 C ₁× C ₂上的坐標、 C ₁× C ₂是一個環面。

　　組合拓撲學裡，二維定向閉曲面中使歐拉-龐加萊特征數為零的曲面是環面。這相當於，環面上連續向量場可以沒有奇點。反之，若一定向閉曲面上的連續向量場無奇點，則該曲面一定是環面。從而環面在所有的閉曲面中占有引人註目的地位。

　　對於可積的兩個自由度的力學系統，若相空間緊致，則可用能量積分把相空間劃分為三維的子集，每個子集由一系列的環面構成，而每個環面由代表運動的積分曲線構成。對於n個自由度的一般情況，類似的敘述對高維的環面成立。因而環面上微分方程的研究頗引人註目。

　　早在龐加萊的開創性論文中，便研究瞭環面上的問題。對於沒有奇點的向量場，相應的軌線（即積分曲線）在(θ，φ)平面上為一組拓撲平行線。平行線在適當意義下的斜率

稱為旋轉數。這是因為在環面上，軌線的延展對圓周 C ₁和 C ₂說一般都有旋轉，這兩個旋轉的比值對無限延展的極限值即為 μ。

　　當環面上沒有奇點，則其上軌線的拓撲結構分為以下四種情形：若μ為有理數，則環面由封閉軌線C構成；或由一些封閉軌線C與漸近於C的軌線共同構成。若μ為無理數，則環面由永不封閉的軌線構成，這時軌線的極限集合或是整個環面，或者是環面上的一個無處稠密的完全集。後面這種極限集的情況稱為奇異情況。它是否能真正出現（即有沒有微分方程實現此情況），是一個多年沒有能回答的問題。直到1932年A.當儒瓦才給出回答，即對於C¹向量場，這奇異情況可出現，而對於比C¹更光滑的向量場，則不出現。

　　對於具有奇點的向量場，軌線如何構造的研究目前還在發展中。現隻有零星的研究，還沒有系統的完整的結果。