求常微分方程滿足給定邊界條件的解的問題。亦即，設常微分方程為

對區間 I上的點α 1，α 2，…，α k及值 y(α i)， y′(α i)，…， y ( n -1)(α i)(i=1，2，…， k， k＞1)，給定瞭一些條件，求此方程在 I上的滿足這些條件的解的問題。這些條件稱為邊界條件，諸α i及 y(α i)、 y′(α i)、…、 y ( n -1)(α i) 稱為邊值或邊界值。當 k=2，α 1、α 2是區間 I的端點時，稱為兩點邊值問題。邊值問題的提出和發展，與流體力學、材料力學、波動力學以及核物理學等密切相關；並且在現代控制理論等學科中有重要應用。因為常微分方程可以解析求解的類型甚少，所以求邊值問題的解也是困難的。為瞭適應實際問題的需求，不得不采用近似解法，這樣，首先需要回答：邊值問題的解是否存在？是否惟一？這就是邊值問題的基本論題。

　　在有限區間上的邊值問題　兩點邊值問題　以二階常微分方程為例。求二階常微分方程

(1)

滿足邊界條件

的解。式中α、 b為區間的端點，f：[α， b]× R 2→ R是連續函數， R＝(- ， )；α s，α ś， β s， β ś及γ s( s=1，2)是給定的常數。特別當γ s=0( s=1，2)時，(2)稱為齊次邊界條件。(2)的特例有：

方程(1)與(2′)、(1)與(2″)及(1)與(2 ‴)，所構成的邊值問題分別稱為第一邊值問題、第二邊值問題和第三邊值問題。

　　例如，懸鏈線（圖1

圖1　懸鏈線 ）之形狀是由第一邊值問題 所確定。式中ρ為懸鏈線密度， g為重力加速度， T為懸鏈線最低點張力。又如，一端固定的細長懸梁（圖2 圖2　一端固定的橫懸梁 ）彎曲的傾斜角 φ（ s）是由第二邊值問題 B φ″( s)- Pcos φ( s) =0， φ(0)=0， φ′（ l）=0，所確定。其中 B為梁的剛性系數， P為自由端的鉛直負載。

　　關於邊值問題解的存在和惟一性問題，對線性方程，在理論上是容易解決的。考慮第一邊值問題

(3)

與(2′)，其中 p、 q及 r是[α， b]上的連續函數，設⑶的通解

(4)

式中 y 1、 y 2是(3)對應的齊次方程的基本解組； Y是(3)的特解； c 1、c 2是任意常數、為求邊值問題(3)與(2′)的解，隻要將(4)代入(2′)來確定 c 1、c 2。易知，當且僅當 y 1(α) y 2( b)- y 1( b) y 2(α)≠0時，才可確定惟一的一組с 1、c 2，代入(4)便得所求的解。然而，對非線性方程，上述途徑是行不通的。例如，邊值問題(1)與(2′)，（1）滿足 y(α)=γ 1的解有無窮多個，它們依賴於 y′(α)=δ不同的取值。但是在這些解中不一定存在滿足 y（ b）=γ 2的解。為瞭保證存在這樣的δ，使有解滿足 y( b)=γ 2，就必須對(1)加適當的限制，即要建立解的存在條件。一個簡單的存在條件是：“若f為連續有界函數，則邊值問題(1)與(2′)存在解。”為保證邊值問題最多有一個解，還必須建立解的惟一性條件。關於邊值問題解的存在和惟一性問題的研究，在20世紀出現瞭大量文獻，至今仍不斷發表新的研究成果。並且將此問題擴展到 泛函微分方程和 抽象空間微分方程。研究此問題所采用的方法也是多樣的。最初多用皮卡迭代法及分析方法；50年代以來發展且采用上、下解方法，瓦熱維斯基拓撲方法，李亞普諾夫函數法等。拓撲度理論中不動點定理的發展，也給近代研究提供瞭重要工具。

　　多點邊值問題　G.桑索內等早在30年代就提出多點邊值問題，但工作很少。60年代以來才被人們重視，並且出現較多的文獻，其中多數是研究以下三點邊值問題解的存在和惟一性問題：

多點邊值問題的論題、結果及研究方法，多是來自兩點邊值問題的拓廣。

　　在無窮區間上的邊值問題　在[0，

)上的邊值問題即求方程(1)滿足邊界條件

(5)

(6)

的解。也稱極限邊值問題。(1)中的f：[0， )× R 2→ R是連續函數；α、 β、γ、δ 是給定的常數。關於此類邊值問題解的存在和惟一性問題的研究，開始於核物理中的托馬斯-費密方程。隨之，對較廣泛類型的方程(1)及邊界條件 y(0)＝γ， y( )=0的邊值問題進行瞭探討。在流體力學中提出邊值問題(1)與 y′(α)＝γ(α>0)， y( )=0。60年代以來進行瞭較一般性的研究，得到較深刻的結果。解決此類邊值問題的一般步驟是：首先指出(1)與(5)存在有界解；然後證明此有界解滿足(6)。此外，在流體力學邊界層理論中還提出三階方程的邊值問題

　　 　

式中α、 β、λ為常數，0≤ β＜1，要求證明解的存在和惟一性及建立解的漸近式。這類問題，40年代以來引起瞭不少學者的興趣，最近開始研究它的推廣形式。在[0， )上的邊值問題的研究方法類同於兩點邊值問題的方法。

　　在(－∞，∞)上的邊值問題　即求方程(1)滿足邊界條件或

的解。(1)中的f： R 3→ R是連續函數；γ±為兩個給定的常數。此類邊值問題出現在波動力學、火焰傳佈理論等。F.H.默裡最先對線性方程給出解的存在惟一性的充分條件。對非線性方程，50年代以來也得到瞭一系列的充分條件。在空氣動力學中還提出瞭三階方程在(- ， )上的邊值問題。所采用的研究方法多是分析法。如：迭代方法和上、下解方法等。此類問題尚有待於進一步深入研究。

　　特征值問題　一種特殊的邊值問題，又稱為本征值問題或固有值問題。它是含有一個參數λ 的齊次邊值問題（微分方程和邊界條件都是齊次的），使齊次邊值問題具有非零解的數λ 稱為特征值，這些非零解本身稱為特征函數(或特征向量)。特征值問題在聲學、光學、電磁理論、彈性力學、材料力學、流體力學和核物理等學科中，有一系列應用，是量子力學的主要支柱。

　　最典型的特征值問題是常型斯圖姆-劉維爾問題(簡稱SL問題)

式中(α， b)是有限區間，1/ p( x)， q( x)，1/ r( x)為實的有界連續函數。

　　對於常型問題，存在可數無窮個特征值 λ0<λ1<λ2<…，對應於每一個λn，有一個非零解yn(x)（特征函數）。{yn(x)}組成(α，b)上的完備正交系。對任意函數f(x)，有特征展開式

　　　　　　(10)

式中 f n是f( x)的廣義傅裡葉系數，等於f( x)與 y n( x)的乘積沿(α， b)的積分。當f( x)滿足邊界條件，且f′( x)絕對連續時，展開式一致收斂。當f( x)平方可積時，展開式平方平均收斂。

　　C.-F.斯圖姆在1836年證明瞭一個一般性的比較定理：若恒有g(x)＜G(x)，則在y″+g(x)y=0的任一解的相鄰兩零點間，必有z″+G(x)z=0的任一解的一個零點。由此證明SL問題的第n+1個特征函數yn(x)在(α，b)中恰有n個零點（振動定理）。比較定理與解的振動性質的研究，近年已被推廣到偏微分方程。

　　當(α，b)不是有限區間，或者1/p(x)，q(x)，1/r(x)中至少有一個不是有界連續時，稱(7)為奇型SL方程，此時邊界條件的提法與展開式的形狀要復雜一些。按照 H.外爾的理論，若對某復數λ，微分方程(7)的任何解都在b點鄰域平方可積，稱b屬於圓款；否則稱b屬於點款。對前者，在b點要提線性邊界條件，對於後者，隻提平方可積條件就夠瞭。若α點為奇點，也有同樣的分類。當區間僅有一端（例如b）為奇點，特征展開式為

　 (11)

式中

　　 　(12)

φ( x，λ)為滿足α處邊界條件的解；ρ(λ)為不減函數，稱為譜函數。當ρ(λ)為純階梯函數時，展開式成為前述的級數形式(10)，當ρ(λ)沒有跳點，展開式成為廣義傅裡葉積分。對於區間兩端都為奇點的情形，展開式為

(13)

(14)

式中[ρ ij(λ)]稱為譜矩陣； φ 1， φ 2則是方程的線性無關解組。

　　奇異情形的上述展開式(14)，概括瞭古典數學物理中一系列重要公式，如傅裡葉積分，傅裡葉-貝塞爾展開式，漢克爾展開式，等等。由於實際應用的需要，展開式的各種具體形式與成立條件，一直在被發掘之中。

　　SL問題的研究已沿著不同方向推廣。在非自共軛情形，特征函數系已不是正交系，而與共軛問題的特征函數系組成雙正交系。對於高階奇型微分方程，邊界條件的提法依賴於端點鄰域內線性無關平方可積解的個數。即虧指數。虧指數的可能取值與具體實現問題，近年來受到重視。由於應用上的需要，對各種具體的非線性特征值問題的研究，一直在進行，但到60年代後期，P.H.拉賓諾維茨運用非線性泛函分析的工具，才發展出一種系統的方法。此外，以多介質為實際背景的多點邊值問題與特征值問題的研究，也不斷出現。

　　特征值反問題屬於另一種格局。在奇異情形有譜函數反問題與散射反問題，這裡要求從各種譜數據或散射數據出發，求微分方程的系數，自50年代И.M.蓋爾范德和Б.М.列維坦等人的開創工作以來，近年來又有一系列的研究。

　　1967年，C.S.伽德納、J.M.格林、M.D.克魯斯卡爾和R.M.繆雷等四人發現，當薛定諤方程的位勢系數按KdV方程（淺水波方程）演化時，特征值保持不變，其他散射量以非常簡單的規律演化。以此為突破點，利用特征值反問題的成果，發展出一種所謂散射反演方法，簡稱IST(Inverse Scattering Transformation)方法，精確地求出一批非線性偏微分方程的孤立子解。這些方程包括在近代技術中有廣泛應用的KdV方程，非線性薛定諤方程，正弦-戈登方程，佈森內斯克方程，等等，成為數學物理中引人註目的進展之一。