測度論

　　研究一般集合上的測度和積分的理論。它是勒貝格測度和勒貝格積分理論的進一步抽象和發展，又稱為抽象測度論或抽象積分論，是現代分析數學中重要工具之一。

　　縱觀勒貝格積分和勒貝格－斯蒂爾傑斯積分理論，不難發現它們都有三個基本要素。第一，一個基本空間（即n維歐幾裏得空間Rη）以及這個空間的某些子集構成的集類即L（勒勒貝格）可測集或某L－S（勒貝格-斯蒂爾傑斯）可測集全體，這個集類對集的代數運算和極限運算封閉。第二，一個與這個集類有關的函數類（即L可測函數或某L-S可測函數全體）。第三，一個與上述集類有關的測度（即L測度或某L-S測度）。在三個要素的基礎上，它們都是運用完全類似的定義和推理過程獲得完全類似的一整套測度、可測函數、積分的定理（見勒貝格積分、貝爾函數）。測度論正是基於這些基本共同點所形成一般理論。

　　環和σ代數　設X是非空的集。E是以X的某些子集作為元素構成的集，稱E為X上的一個集類。設R是X上的一個集類。如果它對集的並、差運算封閉，即對任何A、B∈R，必有A∪B∈R，A\B∈R，則稱R為X上的環；如果R不僅是一個環，而且X∈R，則稱R為X上的代數。例如直線R¹上的左開右閉的有限區間(α，b](α=b時，(α，b]表示空集）的全體記為P，P便是R¹上的集類，但不是環。P中任意有限個集的並的全體記為R₀，R₀便是R¹上的環，但不是代數。直線上任意有限個區間(包括無限區間)的並的全體Rὀ是R¹上的代數。環或代數雖對集的代數運算（即並、差、交運算）封閉，但對極限運算不一定封閉，這就不適應分析數學的要求。因此，需要引入下面的概念：設φ)是X上的一個環，如果它對集的可列並運算封閉（即對任何一列A_n∈φ)，n=1，2，…，必有

），則稱 φ)為 X上的σ環；如果 φ)是σ環，並且 X∈ φ)，則稱 φ)為 X上的σ代數。σ環就對集的並、差、交以及極限運算都封閉，而σ代數還對集的求餘集運算封閉。例如， R ₀， Rὀ，都不是 R ¹上的σ環，而 L可測集（或 L- S可測集）的全體是 R ¹上的σ代數。又如 X的一切子集的全體 X是 X上的σ代數。由於任意個環的交仍是環，因此對一個集類 E，一切包含 E的環的交是包含 E的最小環，記為 R（ E）。同樣，包含 E的最小σ環記為 φ)( E)。例如 而 便是 R ¹上的波萊爾集類。

　　可測空間和可測函數　設φ)是X上的σ環，稱（X，φ)為可測空間，而稱φ中的任何集A為(X，φ)中的可測集（也稱為X中的φ可測集）。如果X是Rⁿ，而φ分別是Rⁿ中L可測集全體（記為L）、由單調增加右連續函數g(x)生成的L-S可測集全體（記為L_g）、波萊爾集全體（記為B），則相應地稱(X，φ)是L可測空間、L-S可測空間、波萊爾可測空間。設E是可測空間(X，φ))中的可測集，f是定義在E上的有限實值函數。如果對任何實數с，{X│f(x)>с}∈φ，那麼稱f為E上關於(X，φ)的可測函數，也稱為E上的φ)可測函數。這種可測函數是L可測函數、L-S可測函數等概念的直接推廣。它有許多等價定義方式，並且具有L可測涵數所具有的代數性質及極限性質。定義在E上的復值函數f，如果它的實部、虛部都是可測函數，那麼就稱f為E上的可測函數。可測空間、可測集、以及可測函數等概念原則上並不涉及測度。

　　測度和測度空間　設X是非空集，E是X上的集類，定義在E上的函數稱為集函數（因為自變元是屬於E，它是X的子集）。設R是X上的環，μ是定義在R上的取非負的廣義實值(可以取值＋

)的集函數，如果滿足：① μ(ø)＝0(ø是空集)；②(可列可加性)對任何一列互不相交的 A _n∈ R( n=1，2…，)，並且 有

，則稱 μ為環 R上的測度。設( X， φ)是一個可測空間， μ是定義在 φ上的測度，則稱( X， φ)， μ)是測度空間。特別，( R ¹， L， m)及( R ¹， L _g， m _g)分別稱為（直線上的） L測度空間和 L- S測度空間。測度空間( X， φ， μ)中的測度 μ除瞭平移、反射不變性以及餘集(因為 X可能不在 S中）的性質外，具有勒貝格測度 m的其他性質。由於 φ是σ環，對集的極限運算封閉，所以測度空間是建立具有良好的極限性質的積分的基礎。

　　設A是可測空間(X，φ)中可測集。如果有一列可測集{A_n}，μ(A_n)＜

( n=1，2，…)，使得 則稱 A為σ有限集。如果 φ)中一切集都是σ有限的，則稱( X， φ)， μ)是σ有限的測度空間。特別，當 φ是σ代數且 X是σ有限集時，稱( X， φ)， μ)為全σ有限測度空間。通常分析數學中所用的具體的( X， φ)， μ)大都是全σ有限測度空間。

　　設測度空間(X，φ)，μ)中的φ)是σ代數，如果μ(X)＜

，則稱( X， φ)， μ)為全有限的測度空間。特別，當 μ( X)=1時，稱( X， φ)， μ)為概率測度空間（概率論中用的全是這種空間）。

　　設A是測度空間(X，φ)，μ)上的可測集。如果μ(A)＝0，則稱A為μ零集。如果(X，φ)，μ)中任何一個μ零集的任何子集都是可測集，則稱（X，φ)，μ）為完全測度空間。例如(R¹，L，m)，(R¹，L_g，m_g)都是完全的、全σ有限的測度空間。

　　測度空間上可測函數列的收斂　同L測度一樣，在測度空間(X，φ，μ)中也有命題P在E上“幾乎處處”成立的概念，它是指E中使命題P不成立的點的全體（它可能不是可測集）包含在某個μ零集中。對於完全測度空間，命題P在E上幾乎處處成立就是指使命題 P不成立的點的全體是μ零集。在不完全的測度空間上，關於μ幾乎處處相等的兩個可測函數f和h，未必能從f的可測性推出h也是可測的，隻有在完全測度空間才能做到這一點。對於測度空間上的可測函數序列，常用的重要收斂概念同樣有兩個：一是E上可測函數列{f_n}幾乎處處收斂於可測函數f，即{x│f_n(x)→f(x)}包含在某個μ零集中；另一是E上可測函數列{ f_n}度量收斂(或稱依測度收斂)於可測函數 f，即對任何 ε>0，

上述兩種收斂的關系是和 L測度的情形一樣。此外，在測度空間上也成立葉戈羅夫定理：設 E上可測函數列{ f _n}幾乎處處收斂於可測函數f，並且 μ( E)＜ ，則對任何δ>0，必存在可測集 E _δ⊂ E，使得 μ( E\ E _δ)<δ，且{ f _n}在 E _δ上一致收斂於f。類似於 L測度的情形，在測度空間上也可引入度量基本序列（或依測度基本序列），並成立相應的完備性定理。

　　積分和積分平均收斂　同L積分建立過程完全一樣，可以建立測度空間上的積分概念，隻要將那裡的測度m換成現在的μ即可。L積分所具有的大部分性質對一般的測度空間上的積分也是成立的。在測度空間中也有積分平均收斂，平方平均收斂或更一般的p次平均收斂的概念以及相應的性質。

　　環上測度的延拓　對積分來說，采用關於集的極限運算不封閉的環上的測度是不夠的，有用的是σ環上的測度。然而由於環的結構比σ環的結構要簡單得多，所以在環上給出一個測度或驗證環上的某個非負集函數是否是測度往往比在 σ環上要簡單得多。自然就產生定義在環R上的測度是否一定能延拓成包含R的最小σ環φ(R)上的測度的問題。測度論中證明瞭如下重要定理：任何環上的σ有限測度必可惟一地延拓成包含它的最小σ環上的 σ有限測度。標準的延拓方法（稱為卡拉西奧多裡延拓）如下：設R是X上的環，μ是R上的測度，令

在 H（ R）上定義

稱 μ 是由 μ導出的外測度。如果 X的子集 B，對任何 A∈ H( R)都成立 μ ( A)= μ ( A∩ B)+ μ ( A\ B)，則稱 B滿足卡拉西奧多裡條件。記 R 是 H( R)中滿足卡拉西奧多裡條件的集的全體，則 R 是包含 R的σ環（因而 ），而且（ X， R ， μ ）是完全的測度空間。並且，對於任何 A∈ R， μ （ A）= μ（ A），即 R 上的測度 μ 是 R上測度 μ的延拓。此外，有如下的延拓惟一性定理：設 μ _i是 σ環 φ _i(i=1，2)上的測度，環 如果 μ ₁， μ ₂在 R上相等，並且當 μ ₁， μ ₂作為 R上的測度時， R中的集都是σ有限的，則 μ ₁， μ ₂作為σ環 φ( R)上的測度必相等，並且 φ( R)中的集都是σ有限的。

　　測度的完全化和增補　設(X，φ，μ)是測度空間，如果它不是完全的，就有可能出現零測度的集的子集是不可測的，這在許多場合是不方便的。因此就發生測度的完全化的問題。通常可用如下增補法將測度完全化。設(X，φ，μ)是測度空間，N表示一切μ零集的一切子集所組成的集類，作集類

易知 φ′是包含 φ的σ環，在 φ′上的集函數

是 φ′上的測度，並且( X， φ′， μ′)是完全測度空間，稱( X， φ′， μ′)為( X， φ， μ)的完全化空間或增補。

　　乘積測度空間和富比尼定理　設(X，φ)，(Y，T)是兩個可測空間，稱X×Y的子集A×B(A∈φ，B∈φ)為可測矩形，包含一切可測矩形的最小σ環記為φ×T，稱(X×Y，φ×T)為(X，φ)與(X，T)的乘積可測空間。設E是(X×Y，φ×T)上的可測集，即E∈φ×T，則E的任何x截口E_x={y│(x，y)∈E}必是(Y，T)的可測集。同樣，定義在E上的關於(X×Y，φ×T)的可測函數f(x，y)，它的任何x截口f_x(y)=f(x，y)必是E_x上關於(Y，T)的可測函數。設(X，φ，μ)，(Y，T，v)是兩個σ有限的測度空間，可以證明存在惟一的φ×T上的σ有限測度λ，使得對任何可測矩形A×B，λ(A×B)=μ(A)v(B)。通常稱λ為μ與v的乘積測度，記為μ×v，並稱(X×Y，φ×T，μ×v)為(X，φ，μ)與（Y，T，v）的乘積測度空間。需要指出，即使(X，φ，μ)與(Y，T，v)都是完全的，乘積測度空間也未必是完全的。同L測度的情況類似，關於重積分和累次積分關系的富比尼定理在一般的乘積測度空間中也成立。

　　有限可加測度　設φ是X上的σ環，μ是定義在φ上的非負集函數（可取值＋

），如果滿足：① μ(ø)＝0(ø是空集)，② 對任何有限個互不相交的 A _n∈ φ( n=1，2，…， K)都成立 則稱 μ為 φ上的有限可加測度。例如，設{ μ _n}是定義在 φ上的一列測度，並且對任何 A∈ φ，{ μ _n( A}收斂。記 顯然 μ是 φ上的有限可加測度，但未必是 φ上的測度。下面的定理是重要的：設 μ是 φ上有限可加測度，並且對任何 A∈ φ， μ（ A） 。如果對 φ中任何序列{ A _n}，當 A ₁ɔ A ₂ɔ…，且 時，都有 則 μ必是 φ上的測度。

　　帶符號測度　也稱為廣義測度。設μ是定義在φ上的集函數（可取無限大值，但±

中最多隻有一個被取到，通常規定－ 不被取到），如果對任何一列互不相交的 A _n∈ φ，有 則稱 μ為 φ上可列可加的集函數。稱 φ上滿足 μ(ø)=0的可列可加集函數 μ為 φ上的帶符號測度或廣義測度。例如，設 f( x)是直線上的 L可積函數，對任何 A∈ L令 由 L積分的可列可加性便知 μ ₀是 L上的帶符號測度。如果令 f ⁺（ x）=max（f( x)，0）， f ^-( x)=max(-f（ x），0)， 那麼 μ _±均是 L上的測度，並且 即 μ ₀可以分解為兩個測度之差。對帶符號測度也成立這種分解（稱為若爾當分解）。設 μ是 X的σ環 φ上的帶符號測度，如果集 E⊂ X使得對任何 A∈ φ， A∩ E∈ φ並且 μ（ A∩ E）是非正數(或非負數)，則稱 E為 μ的負集(或正集)。這時，有哈恩分解定理：設 μ是 φ上帶符號測度，則必有 μ的負集 E，正集 F使得 E∩ F＝ø，並且 E∪ F= X。稱如此的一對集 E、 F為 μ的哈恩分解。 X對於（帶符號測度） μ的哈恩分解並不惟一，如果 E ₁、 F ₁及 E ₂、 F ₂是 X對於 μ的兩個哈恩分解，根據哈恩分解定理，則對任何 A∈ φ)，必有 μ（ A∩ E ₁）＝ μ（ A∩ E ₂）， μ（ A∩ F ₁）＝ μ（ A∩ F ₂）。據此令 μ ₊（ A）＝ μ( F∩ A)， μ _-( A)=- μ( E∩ A)，就得到帶符號測度 μ的若爾當分解定理：σ環 φ上任何帶符號測度 μ必可分解成兩個相互奇異測度之差： μ= μ ₊- μ _-。這種分解是惟一的，通常分別稱 μ ₊， μ _-及│ μ│= μ ₊+ μ _-為 μ的正變差測度，負變差測度及全變差測度。帶符號測度的若爾當分解是有界變差函數的若爾當分解的推廣。

　　關於帶符號測度的積分　帶符號測度實質上是兩個測度μ₊、μ_-之差。因此，在可測空間(X，φ)上有瞭帶符號測度μ後就可定義關於μ的積分：設f是E上的可測函數，如果f對μ₊，μ_-都可積，就稱f關於μ可積，並稱

為f關於 μ在 E上的積分，記為 這種積分具有普通積分的性質。但需註意兩點：第一，由於 μ未必是非負的，所以當f≥0時未必 即失去通常積分的單調性，但成立 第二，對帶符號測度 μ，命題P在 E上關於 μ幾乎處處成立是指 E中使命題P不成立的點全體包含在某個│ μ│零集中。

　　測度的絕對連續性和拉東-尼科迪姆定理　為瞭推廣微積分學中的牛頓-萊佈尼茨公式，勒貝格積分理論中提出瞭絕對連續函數概念(見有界變差函數)。絕對連續函數及相應的微分與積分的互逆關系式在一般測度論中也被推廣瞭。設(X，φ)是可測空間，μ、v都是φ上的帶符號測度，如果任何|μ|零集E都是|v|零集，稱v關於μ絕對連續，記為v＜μ，例如前述例子中的帶符號測度μ₀就是關於m絕對連續的。拉東－尼科迪姆定理：設(X，φ，μ)是全σ有限測度空間，v是φ上帶符號測度，並且v＜μ，則存在惟一的（最多除一個μ零集上有差別之外)X上可測函數f，使得對任何

成立（這是牛頓-萊佈尼茨公式的推廣）。通常稱f是 v關於 μ的拉東-尼科迪姆導數，簡稱 R- N導數，記為 R- N導數具有通常導數的某些性質。

　　測度的奇異、等價和勒貝格分解　設(X，φ)是可測空間，φ)是σ代數，μ、v是φ上兩個帶符號測度，如果v＜μ，μ＜v同時成立，則稱μ和v等價，記為μ～v。例如前述例子中，如果f(x)處處不等於零，則μ₀～m。如果存在可測集E，使得│v│(E)=│μ│（X\E）=0，則稱μ與v是奇異的，記為μ⊥v。例如若爾當分解中的μ₊⊥μ_-。類似於有界變差函數的勒貝格分解，有如下的分解定理：如果(X，φ)是可測空間，φ是σ代數，μ、v是φ上帶符號測度，並且│μ│、│v│是全σ有限的，則有惟一的分解式

其中 v _c、 v _s都是 φ上的測度並且

　　作為測度和積分的理論，上面所述的是一般集合上的測度和積分，就這一點講，它是最廣泛的理論。然而適應各方面需要，還有種種特殊的測度和積分，例如向量值函數積分，向量值測度及積分，群上的哈爾測度及積分（見群上調和分析），此外還有正處於研究中的無限維空間上泛函積分，取值於具某種拓撲結構半群上的積分、非交換積分等。