不適定問題數值解法

　　如果某個數學問題的解對定解資料的擾動極敏感，即不是連續地依賴於定解資料，則稱該問題是不適定的。

　　在較長一段時間內，不適定問題被認為沒有物理背景，因而沒有引起足夠的重視。最近幾十年來，提出瞭不少具有實際意義的不適定問題，其數學理論和近似數值解法的研究也得到蓬勃的發展。

　　典型的不適定問題有：第一類運算元(積分)方程、拉普拉斯方程的初值問題、熱傳導方程逆時向的初值問題、波動方程的狄利克雷問題、、求解微分方程系數的反問題等等。

　　不適定問題可以看為極度病態的問題。在n維歐氏空間中考察線性方程Au=f，其中A是線性算子。設A

A的特征值為1=λ ₁≥λ ₂≥…≥λ _n≥0。若 A非奇異，則λ _n＞0，方程有惟一解。但若λ _n很小，則此方程的條件數(1/λ _n) ^1/2很大，方程是病態的。現在在可分的希氏空間 H中討論這個方程。若λ _n＞0，且當 n→ 時，λ _n→0，則上述方程就是第一類算子方程。

　　設{e_i}為A

A的特征元素組成的完備基，則成立展開式 ，其中 。此時方程 的形式解為：

　　

設 ，可知 A ^-1僅定義在 F上，亦即僅當f∈ F時，方程才存在解 u= A ^-1f。

　　如果已知定解數據f的近似值為f_δ，則可能

，此時 A ^-1f _δ無意義，即方程無解。即使f _δ∈ F，此時雖存在 ，但由於 A ^-1無界， 也不能通過δ=‖f-f _δ‖加以估計。所以，直接求解 A u _δ=f _δ不能得到有任何確保精度的近似解。這就是求解不適定問題的困難所在。

　　為瞭求得具有一定精度的近似解，已經提出瞭許多有效的解法。20世紀60年代，蘇聯數學傢A.H.吉洪諾夫提出的正則法是較為重要的一種。設R是D(R)→H的對稱算子，D(R)在H中處處稠密，且存在常數c>0，對任意的v∈D(R)，成立(Rv，v)≥с(v，v)>0（在一般情況下，要求R非負，且除瞭H的一個有限維子空間外上式成立即可）。將滿足

的極值點 u _δ作為對應於近似數據 f _δ的近似解。上述條件極值點 u _δ也是下列無約束極值問題

的解，其中α(δ)是拉格朗日乘子。由變分原理即得

由於 A A+α R是對稱正定算子，(( A A+α R) v， v)≥αс( v， v)，所以其逆存在， 。可以證明，當δ→0時，‖ u- u _δ‖→0。

　　正則法的實質在於，對原不適定問題中的算子附加一個適當的小擾動項αR，使之正則化（穩定化），即帶有擾動項的問題是適定的。在不適定問題的許多有效解法中，都以某種方式體現瞭這種正則化思想。