又稱固定點演算法。所謂不動點，是指將一個給定的區域A，經某種變換f(x)，映射到A時，使得x=f(x)成立的那種點。最早出現的不動點理論是佈勞威爾定理(1912)：設A為Rn中的一緊致凸集，f為將A映射到A的一一連續函數，則在A中至少存在一點x，使得x=f（x）。其後，角谷靜夫於1941年將此定理推廣到點到集映射上去。設對每一x∈A，f(x)為A的一子集。若f(x)具有性質：對A上的任一收斂序列xi→x0，若yi∈f(xi)且yi→y0，則有y0∈f(x0)，如此的f(x)稱為在A上半連續，角谷靜夫定理：設A為Rn中的一緊致凸集，對於任何x∈A，若f(x)為A的一非空凸集，且f(x)在A上為上半連續，則必存在x
∈
A，使
x
∈f(
x
)。J.P.紹德爾和
J.勒雷又將佈勞威爾定理推廣到巴拿赫空間。
不動點定理在代數方程、微分方程、積分方程、數理經濟學等學科中皆有廣泛的應用。例如，關於代數方程的基本定理，要證明f(x)=0必有一根，隻須證明在適當大的圓│x│≤R內函數f(x)+x有一不動點即可；在運籌學中，不動點定理的用途至少有二：一為對策論中用來證明非合作對策的平衡點的存在和求出平衡點；一為數學規劃中用來尋求數學規劃的最優解。對於一個給定的凸規劃問題：min{f(x)│gi(x)≤0，i=1，2，…，m}，在此，f和g1，g2，…，gm皆為Rn中的凸函數。通過適當定義一個函數φ，可以證明：若上述問題的可行區域非空，則φ的不動點即為該問題的解。
在1964年以前，所有不動點定理的證明都是存在性的證明，即隻證明有此種點存在。1964年，C.E.萊姆基和 J.T.Jr.豪森對雙矩陣對策的平衡點提出瞭一個構造性證明。1967年，H.斯卡夫將此證法應用到數學規劃中去。其後，不動點定理的構造性證明有瞭大的發展和改進。
H.斯卡夫的證明是基於一種所謂本原集，後來的各種發展皆基於某種意義下的三角剖分。現以n維單純形Sn為例來說明這一概念，在此，
。對每一i，將區間0≤
x
i≤1依次分為
m
1，
m
2…等分，
m
1＜
m
2<…，
m
i→
，是給定的一列正整數。對於固定的i，過分點
依次作平行於
x
i=0的平面。這些平面將
S
n分成若幹同樣大小的
n維三角形。它們的全體作成的集
G
i，稱為
S
n的一三角剖分。設f(
x)為
S
n→
S
n的一連續函數，
x＝(
x
1，
x
2，…，
x
n
+1)，f（
x）=（f
1（
x），
f
2（
x），…，f
n
+1（
x））。定義
。由於f(
x)和
x皆在
S
n上，若有
則顯然有f(
x
)=
x
，即
x
為f(
x)的一不動點。
對每一點y∈Sn賦與標號l(y)=k=min{j│y∈Cj，且yj＞0}。由著名的施佩納引理，在Gi中必存在一三角形σi，它的n+1個頂點yi(k)的標號分別為k(k=1，2，…，n+1)於是可得一列正數ij(j→
)，使得
(
k)→
y
k，
k=1，2，…，
n+1。根據σ
i的作法，當i
j→
時，
收斂成一個點
x
。故
y
k=
x
，
k=1，2，…，
n+1。因
(
k)的標號為
k，故
y
k∈
C
k，因而
即
x
為所求的不動點。因此，求f(
x)：
S
n→
S
n的不動點問題就化為求 σ
i(i=1，2，…) 的問題。為瞭計算上的效果，除瞭上述的標號法之外，還有標準整數標號法、向量標號法等等。關於如何求σ
i，有變維算法、三明治法、同倫算法、變維重始法等等，通過適當定義，可將上之
S
n改為
R
n或
R
n中之一凸集。求一凸函數在一凸集上的極值問題也可化為求不動點問題。一般說來，這條途徑適用於維數不高但問題中出現的函數較為復雜的情況。
參考書目
A.J.J.TalmanVariable Dimension Fixed Point Algorithms and Triangulations，Mathematisch Centrum，Amsterdam，1980.