玻耳茲曼方程數值解法-百科詞條

　　玻耳茲曼方程是原子物理、天體物理等領域中的描寫粒子(中子、質子、光子等)運動的基本微分－積分方程。假定粒子在兩次碰撞之間作等速直線運動，而在穿過介質的過程中按照一定的概率與其他粒子相碰撞，從而發生偏斜、慢化、被吸收或增殖等現象。由於粒子是大量的，因此可以忽略統計起伏，把它們看成是連續體。求解玻耳茲曼方程，就是要求出在任一時刻，具有不同速度的粒子在空間的分佈。玻耳茲曼方程數值解法很多，其中以解描述中子輸運問題的玻耳茲曼方程的數值方法較為典型。

　　描述非定常中子輸運過程的玻耳茲曼方程為：

，　(1)

式中 t為時間； r、 v分別為中子的位置和速度向量， v＝ v Ω， Ω為中子速度方向的單位向量； φ( r， v， t)為中子角通量分佈；σ( v， r)表示在點 r處速度為 v的中子的宏觀總截面，σ′=σ( v′， r)；f( v′→ v； r) d v是在 r處中子速度由 v′轉移到 v與 v+ d v之間的總概率；

是獨立中子源。對於單速各向同性散射一維球對稱問題，非定常中子輸運方程為

式中 r為徑向坐標； μ＝ cos θ， θ為向徑和速度向量間的夾角；σ( r)為總截面； β( r)=σ( r)с( r)，с( r)為在 r處每次碰撞所產生的平均次級中子數。方程(2)的定解條件為

。

　　20世紀40年代發展瞭用於解定常問題的兩類主要解法。

　　①球諧函數法它把φ和

按勒讓德多項式 P _N( μ)(球諧函數）展開，例如，令

利用勒讓德多項式的性質，把方程簡化，再取展式的前 N+1項，得 φ ₀， φ ₁，…， φ _N的 N+1個方程的聯立方程組，然後用差分法求數值解。該法又稱為 P _N近似法。

　　②威克－昌德拉塞卡離散縱標法簡稱WC法。它(主要針對平板幾何問題)是取μ的一組固定值，μ₀，μ₁，…，μ_N，對φ(r，μ_i，t)(i=1，2，…，N)寫出方程組。右端積分用數值積分逼近，例如取μ_i為勒讓德多項式零點的高斯求積公式，然後用差分法求解。對於各向同性散射的平板問題，WC法和球諧函數法是等價的。

　　1953年 B.G.卡爾森提出瞭解中子輸運方程(2)的S_N方法，該法取－1=μ₀＜μ₁<…＜μ_N=1（其中

），把[-1，1]分成 N個區間，在每個區間[ μ _j _-1， μ _j]上假定 φ是 μ的線性函數，同樣取

R，假定在每個區間[ r _i _-1， r _i]上 φ也是 r的線性函數。將(2)在區域{ r _i _-1≤ r≤ r _i， μ _j _-1≤ μ≤ μ _j}上對 r和 μ積分，然後對時間作隱式向後差分得到差分格式，並適當選取插值公式，使差分方程的解滿足粒子數守恒的性質。

　　卡爾森等人在50年代末進一步提出離散S_N法，又稱離散縱標法(簡記DSN法)。這種方法可以比較容易地推廣到多維情況。它是從守恒方程