病態矩陣

　　求解方程組時對資料的小擾動很敏感的矩陣。解線性方程組Ax=b時，若對於係數矩陣A及右端項b的小擾動δA、δb，方程組(A+δA)x=b+δb的解x與原方程組Ax=b的解差別很大，則稱矩陣A為病態矩陣。方程組的近似解x一般都不可能恰好使剩餘r=b-Ax為零，這時x亦可看作小擾動問題Ax=b-r(即δA=0，δb=-r)的解，所以當A為病態時，即使剩餘很小，仍可能得到一個與真解相差很大的近似解。例如，取

當以 作為近似解時，剩餘 r＝ 已很小，但 x與真解 仍相差很遠。

　　判定矩陣是否病態以及衡量矩陣的病態程度通常是看數值K(A)＝‖A^-1‖‖A‖的大小，其中A^-1為矩陣A的逆，‖‖表示對矩陣取某一種范數。K(A)稱為A的條件數，它很大時，稱A為病態，否則稱良態；K(A)愈大，A的病態程度就愈嚴重。

　　對小擾動問題(A+δA)x=b+δb與原問題Ax=b的解有估計式

對矩陣求逆亦有估計式

從上估計式可以看出條件數對解方程組及矩陣求逆的影響。

　　希爾伯特矩陣是一類著名的病態矩陣，其定義為

式中

由於 H _n對稱正定，當取‖ H _n‖為歐氏范數時， K( H _n)即為 H _n的最大與最小特征值之比。對 n=7，8，9，10有

K(H₇)=4.75×10⁸

K(H₈)=1.53×10¹⁰

K(H₉)=4.93×10¹¹

K(H₁₀)=1.60×10¹³

　　當n較大時，有近似表達式K(H_n)～e^3.5n。在一臺相當於10位十進制字長的計算機上對希爾伯特矩陣求逆或解方程組時，如n≥8，則所得解答連一位準確數字都沒有。