自相矛盾的命題，即如果承認這個命題，就可推出它的否定；反之，如果承認這個命題的否定，又可推出這個命題。1900年前後在集合論中出現瞭3個著名悖論。
羅素悖論(1903) 設R為一切不屬於自身的集合(即不含自身作為元素) 所組成的集合。在樸素集合論中這樣的R是合法的。RR是否屬於R?若R屬於R，則R是R的元素，於是R不屬於自身，即R不屬於R；反之，若R不屬於R，則R不是R的元素，於是R屬於自身，即R屬於R。無論如何，都是矛盾的。
康托爾悖論(1899) 設S為一切集合所組成之集合。考慮S的勢
。因為任何集合都是
S的子集，故不存在其勢大於
的集合，但由康托爾定理可知，
S的冪集
P(
S)的勢
大於
。這就得到矛盾。
佈拉利-福爾蒂悖論(1897) 設W為一切序數所組成的集合。因為W按自然大小順序成一良序集，故W有一序數Ω。由序數性質，這Ω必比W中任一序數都大，但由定義，Ω也出現於W中，從而將有Ω＞Ω，而這是矛盾的。
這些悖論，特別是羅素悖論，在當時的數學界與邏輯學界內引起瞭極大震動（J.W.R.戴德金推遲瞭他的《什麼是數的本質和作用》一文的再版，（F.L.）G.弗雷格甚至宣稱他的《算術基本法則》基礎之一被動搖瞭），觸發瞭數學的第三次危機。1908年B.A.W.羅素的類型論(見集合論公理系統)和E.F.F.策梅洛的公理集合論就是為瞭防避它們而提出的。