一類賦有序關係的線性空間，稱為有序線性空間。
如果隻考察實值函數，則重要的空間如C（Ω），Lp(Ω)(1≤p<∞)，除瞭有線性結構、拓撲結構以外，還有個按照自然的序：
ff≥0，若f(t)≥0對一切（幾乎所有）t∈Ω都成立，構成的序結構。某些空間中的這種序或“正性”，在理論和應用上都是很重要的。
半序空間與向量格 如果實線性空間E的某些元素偶（x，y）之間有關系x≥y，並存在①序關系；x≥x，又x≥y且
，
x≥
y且
；②
，
x≥
y，
；則稱
E為半序線性空間。若進而還有③格關系：對
x、
y∈
E恒有
z∈
E，使
x≤
z且
y≤
z，又
x≤
u，
。就稱
E為向量格或裡斯空間，且記③中之
z為
x∨
y。
一般對具有性質①的集合，稱為按關系≥是半序的，而上述性質②則意在線性結構與序結構的協調。
向量格實例 ①設CR(Ω)是緊豪斯多夫空間Ω上全體實值連續函數，其上的加法與數乘如通常定義。對x、y∈C(Ω)定義
，當
t∈
Ω。這時(
x∨
y)（
t）=max{
x（
t），
y（
t）}，易見
C
R(
Ω)是向量格。②設（
x，
B）是可測空間。設
V是全體在(
x，
B)上有限的，完全可加的集合函數。對
μ
1，
μ
2∈
V及實數α定義
，
，
E∈
B，α是實的；
，
E∈
B。這時，
當E∈B。可以證明，V是向量格。③對希爾伯特空間H上有界線性算子A與B，如果對任何有界的T使AT=TA皆有BT=TB，則稱B堻堻A。設A是H上給定的有界自伴算子，令RA={H；B
A}，定義
，當
x∈
H，則對
有
。這裡
而
且
C≥0，可以證明
R
A是向量格。
向量格的性質 在向量格中定義
，
x_＝(-
x)∨0，|
x|=
x∨(-
x)依次稱為
x的正部分、負部分、絕對值。在向量格中，每個元
x都有若爾當分解
。這是有界變差函數以及抽象測度論中的結果的推廣。
對向量格E中的一族元素
，若有
x∈
E，使得
x≥
x
α對一切α∈
A成立，又任何
y≥
y
α對一切
，則稱
x為
之上確界，記作
。同樣，可定義下確界
在一般的向量格中，上方有界的點列未必有上確界。如果對
X之任何上方有界點列
，必有上確界，則稱
X為σ-完備的。前述之向量格
V與
R
A都是σ-完備的。
對E中的點列
，若有單調遞減的點列
w
n使得
，而
，則稱
x
n序收斂於
x
0，記作
。
設X為實的巴拿赫空間。如果X還是一個向量格，而且
，
則稱
X為巴拿赫格。這是線性關系，格序關系以及范數的結合。
利用格序關系與序收斂，對σ-完備的向量格X可定義絕對連續元素與奇異元素，從而將拉東-尼科迪姆定理推廣成：X的每個元都可惟一地表示成絕對連續元與奇異元的和。又對某些σ-完備向量格中之元α，可惟一地確定一個單位分解{eλ；-∞<λ<∞}，使
，從而將自伴算子譜分解定理推廣到適當的 σ- 完備向量格上。設
X為巴拿赫格，如果還有
x≥0，
，則稱
X為抽象
L
1空間。可以證明有測度空間
Ω使得這種
X線性的，保范序同構於
L(
Ω)，同樣也可用格序關系與范數刻畫
L
p(
Ω)與
C(
K)，這裡
K是緊空間。
參考書目
關肇直編：《泛函分析講義》，高等教育出版社，北京，1958。
A.C.Zaanen and W.A.J.Luxemburg，Riesz Spaces，North-Holland，Amsterdam，1971.