BMO空間

　　有界平均振動空間的簡稱。這是1961年由 f.約翰和L.尼倫伯格在研究橢圓型偏微分方程的解時所引進的一類函數空間。它包含著空間L^∞（Rⁿ），又是哈代空間H¹（Rⁿ）的對偶空間（見H^p空間）。設f（x）為定義於Rⁿ上的局部可積函數，Q為Rⁿ中邊平行坐標軸的任一立方體，│Q│為其體積，f（x）同f(x)在Q上的平均值

的偏差用│ f( x)- f _Q│表示，它在 Q上的平均值 ，叫做 f( x)在 Q上的平均振幅。如果 f( x)滿足條件

就稱 f( x)具有有界的平均振幅，並記作 f∈BMO。由上述定義看出，任一 R ⁿ上的有界可測函數必具有有界的平均振幅，但反之不一定成立。例如，log｜ x｜屬於BMO空間，但它不屬於 L ^∞，這說明 BMO空間和 L ^∞有嚴格的包含關系 。

　　BMO空間與巴拿赫空間　對任一f∈BMO，如定義

，可以證明 為一準范數。事實上， 當且僅當 f( x)為一常數。因此，當BMO空間中的兩個函數 f ₁和 f ₂相差一常數時，規定這兩個函數是等同的，在這個規定之下， 便成為范數，而且BMO空間為一巴拿赫空間。

　　約翰－尼倫伯格不等式　由 BMO空間的定義容易驗證：如果存在兩正常數A和α，使得對於一切的立方體Q均滿足

式中左邊為勒貝格測度，那麼 f∈BMO。約翰和尼倫伯格指出上述不等式本質上可以用來刻畫BMO空間的特征。這就是存在著兩正常數 A和 α，使得對於任一 f∈BMO，立方體 ，以及α>0，成立不等式

　　費弗曼－施坦分解　另一個涉及BMO空間構造特征是由 C.L.費弗曼和 E.M.施坦給出的：f∈BMO當且僅當f=u+ṽ，此處u，υ∈L^∞，ṽ為υ的希爾伯特變換。這個事實表明，判斷一個函數是否屬於BMO空間，可以純粹用調和分析的語言來表述與刻畫。因此，這個事實也就成為揭示BMO空間和調和分析之間內在關系的紐帶，並且這方面的進一步研究成為當代調和分析的重要研究課題之一。

　　費弗曼－施坦定理　關於BMO空間的研究，特別要提出費弗曼和施坦的下述結果：哈代空間H¹(Rⁿ)的對偶空間為BMO空間，記作

。可以說，由於這個事實的發現，BMO空間便成為調和分析的重要角色。

　　應用　由於BMO空間是H¹的對偶空間，因此許多涉及H¹的問題通過這個對偶關系可以用 BMO空間的性質去處理，於是BMO空間就成為研究H¹許多問題的一個新工具。例如，研究算子T從H¹到L¹的有界性，要建立不等式

　　 (*)由 以及關系式

　　可知：

。

於是，為使關系式(*)成立，隻須證明

。

這就把研究算子從 H ¹到 L ¹的有界性問題轉化為研究其共軛算子慘從 L ^∞到BMO空間的有界性問題瞭。另一個應用是，BMO空間在許多調和分析問題的研究中，可以成為空間 L ^∞的合適代替。例如，傅裡葉分析中的許多古典的算子 T具有從 L ^p到 L ^p的有界性(1< p<∞)，也就是說不等式

成立。但當p=∞時，結論卻不成立。其原因是由於當 f∈ L∞時，經過算子 T作用後的像 T f不一定在 L∞內。包含關系 使人們想到，映像 T f雖不在 L ^∞內，但有可能在BMO空間內，如果這是正確的話，說明算子 T有可能具有從 L ^∞到BMO空間的有界性。例如希爾伯特變換 H雖不滿足

，

但成立著

。因此，當算子 T並不具有從 L ^∞到 L ^∞的有界性時，可以考慮 T是否具有從 L ^∞到BMO空間的有界性。在這種意義下，BMO空間起到瞭代替 L ^∞的作用。