埃爾米特插值是一種常見的插值方法。假設在區間[α，b]上給定瞭n個互不相同的點x1，x2，…，xn以及一張數表
(*)
記
m=α
1+α
2+…+α
n。早在1878年
C.埃爾米特就證明：存在惟一的次數不高於
m-1的代數多項式
H
n(
x)，使得
，
H
n(
x)為表(*)的以
為結點組的埃爾米特插值多項式。如果定義在[
α，
b]上的函數
f(
x)在
x
k(
k=1，2，…，
n)處有α
k-1階導數，並取
，則稱相應的
H
n(
x)為
f(
x)的以
為結點組的(α
1，α
2，…，α
n)階埃爾米特插值多項式。作為特殊情況，若諸α
k都為1，則
H
n(
x)就是
f(
x)的拉格朗日插值多項式；若
n=1，則
H
n(
x)為
f(
x)的α
1-1階泰勒多項式。最使人們註意的是諸α
k都為2的情況，這時
H
n(x)為次數不高於
2
n-1的代數多項式。如果寫
H
n(
x)可表示為
在這種情況下，常取
，而給
以適當的限制。這個想法大致起源於拉格朗日插值多項式的研究。為瞭改善插值多項式的逼近度，需對其導數作一定的要求。
為瞭簡單，考慮定義區間為[-1，1]的情況。L.費耶爾首先讓
，稱
為函數
f(
x)的埃爾米特－費耶爾插值多項式。如果取切比雪夫多項式
T
n(
x)=cos(
narc
cos
x) 的零點全體為結點組，則有絕對常數с，使得對於[-1，1]上的任一連續函數
f(
x)都有
式中-1≤
x≤1，ω(
f，δ)為
f(
x)的連續性模。然而，用
f
n(
f，
x)逼近
f(
x)有其飽和性，逼近階最多為1/
n。若
關於[-1，1]上的
x均勻成立，則
f(
x)是個常數。但是對於其他結點組，會有較大的差異。例如，取勒讓德多項式
的零點全體為結點組時，對於[-1，1]上的連續函數
f(
x)，相應的
f
n(
f，
x)僅可能在(-1，1)中內閉一致收斂於
f(
x)，為瞭使
n→∞時，
F
n(
f，
x)在[-1，1]上一致收斂於
f(
x)，充分必要條件是
。
這種在區間端點發生奇異的情況並不很稀有，它促使人們去改變端點的插值情況。P.圖蘭首先提出在區間端點
x
on=1，
x
n+1n=-1處取值與函數取值相同的要求。從而構造瞭擬埃爾米特-費耶爾插值多項式
Q2n+1(f，x)，即假定結點組
是取在開區間(-1，1)中的，而
2
n+1次代數多項式
Q2n+1(f，x)滿足條件
，
。
這時，如取
為
X
n(
x)的零點全體，則
。
當然也可以考慮僅在一端插值的情況。然而，倘若將端點作為結點，又會發生劇烈的變化。例如，取
，
，
則以
為結點組的埃爾米特-費耶爾插值多項式序列
Fn+2(f，x)，對於
f(
x)=
x
2這樣好的函數，也會在(-1，1)中處處發散。而取
為結點組時，相應的
Fn+2(f，x)對於連續函數
f(
x)卻有逼近階
。
埃爾米特插值多項式可以從各方面擴充。例如，可以在某些結點處放棄對某些階導數的要求，這就是所謂伯克霍夫插值。其中常見的是(0，2)插值，也即對於給定的結點組
以及數組
，
，要確定一個次數不高於
2
n-1的代數多項式
使得
，
，(
k=1，2，…，
n)。當取
αkn=f(γkn)時，考慮
S
2n-1(
f，
x)對
f(
x)的逼近，也可以考慮埃爾米特插值多項式對函數及其導數的同時逼近。例如，取
為結點，對於[-1，1]上的可微函數，考慮
對
f(
x)及
f'(
x)的同時逼近。此時有
至於對於無限區間或周期函數的情形，自然也可作類似的討論，隻是在周期的情形，有時插值三角多項式卻未必存在。
至於f(x)的(α1，α2，…，αn)階埃爾米特插值多項式Hn(x)對f(x)的逼近，如果f(x)在[α，b]上有m階導數，則在[α，b]中有與x有關的點ξ使得
，
式中
。