關於空間的拓撲分類，這是一個既重要又有趣，然而也是非常難的問題，至今沒有能完全解決。但限於閉曲面的情形，結果是非常完滿的。它是數學中為數不多的幾個完整的漂亮定理之一。
在眾多的閉曲面中，球面顯然是首先會被想到的，實際上，它可以作為構造其他的閉曲面的出發點。
為瞭從球面得到其他的閉曲面，先在球面上剪去幾塊，或者換一種說法，就是打些洞，然後再用適當的“補釘”將這些洞補上。當然，為瞭得到新的的閉曲面，不能用剛剪下來的那種小圓片當“補釘”，而應換用其他類型的曲面。顯然，如果用平環（如圖1所示的陰影部分）
作為“補釘”來補（平環的外圓周和洞的邊緣粘合），那麼球面上的洞補好瞭，而平環本身的洞（內圓周）仍空著。為瞭補這個新出現的洞，顯然隻要把它和球面上另一個洞的邊緣粘合即可。這樣，用平環（它拓撲等價於圓柱面）這種“補釘”來補洞，一次就可將兩個洞補好。也就是說，把圓柱面的上端圓周和球面上的一個洞的邊緣(也是一個圓周)粘合，而把下端圓周和球面上的另一個洞的邊緣粘合。圖2為用這種辦法修補後得到的閉曲面。這種曲面由於像給球面安瞭個柄，故稱它為帶有一個柄的球面。顯然，我們可以往球面上安任意多個柄，這些具有不同數目的柄的球面，構成不同胚的閉曲面的“一半”。在介紹另“一半”之前，應註意到以上的閉曲面都是雙側的，即其中一側可以塗一種顏色，而另一側則可塗另一種顏色。
用平環這種“補釘”修補球面上的洞時，先是將外圓周和一個洞的邊緣粘合，然後再將內圓周和另一個洞的邊緣粘合。這樣做的理由是因為最後要得到閉曲面。為瞭得到閉曲面，也可以直接將內圓周上的點，按粘合對徑點(同一條直徑上的兩個端點)的方式把它封閉起來。這種先將內圓周沿對徑點粘好的“補釘”，稱為“交叉帽”，一個交叉帽可以補一個洞。帶有任意多個交叉帽的球面，就構成另一半閉曲面。總而言之，任意一個閉曲面，它不是和一個安有若幹個柄的球面同胚，就是和一個帶有某些個交叉帽的球面同胚。
交叉帽是將平環的內圓周沿對徑點粘合。現將平環沿AB和DE剪開（圖3），得到ACDEF和A′B′C′D′E′G兩塊（這裡A剪開成A和A′，B、D、E，同此，但B和D是對徑點應粘合，故B、B′，D、D′為同一點）。現將這兩塊沿BCD和D′C′B′粘合。如圖4，所示，在長方形
中，兩垂直邊
AE′和
A′
E沿標明方向粘合。這種將長方形的一對邊，扭180°再粘合而得到的曲面叫做麥比烏斯帶（見彩圖）。
麥比烏斯帶 單側曲面
李蔭國制作
因此交叉帽就是麥比烏斯帶。它除瞭隻有一個邊緣（平環的外圓周）這一特點外，還有另一個特點──單側，即不能用兩種不同的顏色來塗滿兩個側面。因此帶交叉帽的球面也是單側的。
帶一個交叉帽的球面，就是投影平面（投影平面就是將單位圓的對徑點粘合而得，見圖5。由於對徑點粘合，故陰影部分同胚於有一個洞的球面，而餘下部分為麥比烏斯帶）；帶兩個交叉帽的球面，通常叫做單側雙環面或克萊因瓶（見圖6及見彩圖）。
克萊因瓶
單側曲面畫出來都是要自己和自己相交的。