共振理論

　　研究攝動量級數解中共振奇點的理論。這種共振奇點的問題與一般力學中的共振現象有些類似，因此亦稱為共振問題。

　　對於自然天體（大行星、小行星等），在攝動量級數解的週期項振幅中會出現1/(pn-qn′)這種因數，n和n′分別為被攝天體和攝動天體的平均角速度，p和q為正整數。當n/n′=q/p′時，pn-qn′=0，出現共振奇點，級數解失效。這就是所謂通約問題。對於人造地球衛星，則有兩種共振奇點：一是地球的非旋轉對稱部分（即地球引力場位函數球諧展開式中的田諧項）對衛星的攝動將產生共振奇點，這時n′表示地球自轉角速度；另一是由於帶諧項攝動，在長周期項振幅中會出現1/(4-5sin²i)形式的因子，當衛星軌道傾角i=i_c=63°26′或116°34′時，4－5 sin²i=0，級數解又失效，i_c稱為臨界角，相應的就是臨界角問題。

　　當初始條件滿足pn-qn′=0或4－5sin²i=0時，級數解中出現無窮大項。但這隻意味著級數解失效，絕對不能說明軌道要素真的會變為無窮大。運動方程本身並無這樣的奇點，根據常微分方程解的存在唯一性定理和解對初值的連續性可知，天體軌道的變化通過上述“奇點”時，仍然是連續的。太陽系中的脫羅央群小行星和同步衛星等都是對應於n/n′=1/1的情況（見脫羅央群小行星的運動），還有不少軌道傾角接近臨界角的人造地球衛星，它們的軌道變化並無反常現象。因此，上述奇點問題是方法本身帶來的，隻要在方法上作些改變就不會出現瞭。對人造地球衛星的運動，用初始軌道要素作為起點的古典迭代法，根本不會出現臨界角問題。綜上所述，通約和臨界角這樣的共振奇點並非本質的，完全可以改用適當的方法來排除。

　　解決一個具體問題時，可以采用某種特定的方法來避免共振奇點；要徹底解決問題，則必須搞清楚天體在共振奇點附近的運動特征。科爾莫戈羅夫等人在研究哈密頓方程解的穩定性時，討論過共振帶的性質。加芬克等人研究瞭關於地球位函數的帶諧項J₂、J₄和田諧項J_2，2對衛星的攝動，把通過正則變換消除短周期項後的哈密頓函數統一寫成下列簡化形式：

H=A(y)+B(y)cos2x，

式中|B/A|=0(ε)，對於臨界角問題，ε=J₂；對於通約問題，ε=|J_2，2|。(有時也將B(y)寫成εB(y)或μ²B(y)，μ=ε^1/2，此時|B/A|=0(1)。如果研究全部帶諧項攝動時，取其主要項，相應地為：

H=A(y)+B₁(y)sinx+B₂(y)cos2x，

| B ₁/ A|和| B ₂/ A|的量級均為 ε(即 J ₂)。這種簡化所對應的問題亦稱理想共振問題。共振奇點就發生在 d A/ d y=0處，相應地 pn- qn′=0或4－5 sin ² i=0，確切地說，這僅是 H所確定的運動平衡態的必要條件。根據這一條件，用研究 xy平面(相平面)上奇點性質的定性方法，可以給出共振區域(即運動平衡態的鄰域)的運動狀況。堀源一郎和加芬克等人從分析方法的角度，對 J ₂和 J ₄或 J _2，2項，用正則變換繼續消除 H中的 x(即消除長周期項)，但不是按 ε，而是按 ε ^1/2展開，這樣也可得到共振區域內的某種運動解，在一定程度上給出瞭共振奇點附近的運動特征。

　　共振理論也被用於研究太陽系天體的動力學演化問題。太陽系的天體幾乎都可以說是滿足通約條件n/n′=q/p的，如木星與土星約為5/2，海王星與冥王星約為3/2，脫羅央群小行星與木星是1/1，……；而且還有通約帶是空隙（幾乎沒有或很少發現小行星）等問題（見小行星環的空隙）。用共振理論來研究這些現象，至今仍未得到本質性的結論，隻是在某種程度上作些解釋而已。