數論的一個分支,它有悠久的歷史與豐富的內容。所謂不定方程是指解的範圍為整數、正整數、有理數或代數整數等的方程或方程組,一般來說,其未知數的個數多於方程的個數。古希臘數學傢丟番圖於3世紀初就研究過若幹這類方程,所以不定方程又稱丟番圖方程。1969年,L.J.莫德爾的專著《丟番圖方程》,較系統地總結瞭這方面的研究成果。近十多年來,這個領域更有重要進展。雖然如此,從整個地說,對於高於二次的多元不定方程,人們知道得不多。另一方面,不定方程與數學的其他分支如代數數論論、代數幾何、組合數學等有著緊密的聯系,在有限群論和最優設計中也常常提出不定方程的問題,這就使得不定方程這一古老的分支仍然並將繼續吸引著許多數學傢的註意,成為數論中重要的研究課題之一。
一次不定方程 最簡單的一次不定方程是二元一次不定方程
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在17世紀,已經知道方程(1)有整數解的充分必要條件是(α1,α2)能整除n,並當(1)有解時,可用輾轉相除法來求(1)的一組解。
設(α1,α2)=1,則(1)的全部整數解可表為
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一般地,s(s≥2)元一次不定方程是指
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與二元的情形類似,方程(3)有整數解的充分必要條件是(α1,α2,…,αs)能整除n。
方程(2)的通解含一個參數,方程(3)的通解含s-1個參數。例如,在s=3時,設(α,b,с)=1,(α,b)=d,α=dα′,b=db′,不定方程
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設α1>0,α2>0,(α1,α2)=1,考慮方程(1)的非負整數解。19世紀,J.J.西爾維斯特曾經證明瞭:在n>α1α2-α1-α2時,(1)有非負整數解,但在
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設αi>0(i=1,2,…,s),(α1,α2,…,αs)=1,考慮式(3)非負整數解xi≥0(i=1,2,…,s)。容易證明,存在僅與α1,α2,…,αs有關的數
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5世紀末,中國數學傢張丘建在他編寫的《張丘建算經》裡提出的“百雞問題”,就是求方程組
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商高數 滿足不定方程
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中國古代數學書《周髀算經》中曾經提到“勾廣三、股修四、徑隅五”這個三邊都是正整數的直角三角形,因此,已經知道方程(6)的一組正整數解x=3,y=4,z=5。古希臘數學傢畢達哥拉斯也給出瞭方程(6)的一些正整數解。至少在16世紀以前,已經給出瞭方程(6)的全部正整數解。若(x,y)=d,由(6)有d│z,故可設(x,y)=1,此外,顯然x和y一奇一偶。可證不定方程(6)滿足(x,y)=1,2|x的全部正整數解可表為x=2αb,y=α2-b2,z=α2+b2,式中α、b為任意整數滿足α>b>0,(α,b)=1,2磍α+b。
在17世紀,上述結果曾給P.de費馬很大影響,導致他提出瞭在數論發展史上非常重要的三個定理。
① 每一個形如4k+1的素數p可惟一地表成兩個正整數的平方和,即p=x2+y2,0<x<y。
② 每一個正整數能夠表成四個整數的平方和。
③ 不定方程
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對於第一個定理,費馬說他能夠用無限遞降法證明,但未發表。第一個完全的證明是L.歐拉在1749年給出的,他在1773年和1783年又給出瞭更好的證明。特別是近代,有人把x,y具體表示瞭出來:
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關於第二個定理,費馬的證明仍未被發現。1772年,J.-L.拉格朗日給出瞭第一個證明,一年後,歐拉給瞭一個更簡單的證明。由於形如8k+7的數不能表成三個整數的平方和,因此,這是一個很完美的定理。而且,這個定理也是非常有用的,例如在組合數學裡的阿達馬矩陣的構造中就要用到。
費馬給出瞭第三個定理的證明。他證明這個定理所創造的無窮遞降法至今還很有用。如果(7)有一組整數解x0,y0,z0,x0y0≠0,可設z0>0,利用方程(6)的整數解公式,可以得出(7)的一組新解x1,y1,z1滿足x1y1≠0,z0>z1>1,這個方法可以繼續下去,從而得到一個無窮的、嚴格遞降的正整數序列z0>z1>z2>…,因為z0是一個確定的正整數,這當然是不可能的。
有一個關於商高數的猜想:設α、b、с是商高數,x、y、z是正整數,且滿足
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佩爾方程 二次不定方程中,最簡單的也是最重要的方程是佩爾方程。佩爾方程是指不定方程
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人們最先考慮的是N=1的情形,即不定方程
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設x0>0,y0>0是方程(9)的所有x>0,y>0的解中使
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隻需要求(9)的最小解,它的全體解x、y也就表示出來瞭。最小解也可以定義為方程(9)的整數解x>0,y>0中使x最小或使y最小的解。因此,尋找(9)的最小解可以用驗算的方法,令y=1,2,3,4,…,直到1+Dy2是一個完全平方時即可求出。然而,這種方法有時計算十分冗長。例如,x2-94y2=1的最小解是x0=2143295,y0=221064。也可把
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對於不定方程(8),很明顯,在N=-1時,如果D含有4k+3形狀的素因數,就無整數解。但是如果它有一組整數解,就有無窮多組解。可類似(9)那樣定義它的最小解。如果它有最小解x=α,y=b,那麼它的全部解由
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(8)在N=±4時,有類似的結果。
求出佩爾方程最小解的上界,是一個重要問題。設
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佩爾方程有許多應用。一般的二元二次方程如果有解,都可歸結為佩爾方程的求解問題,甚至某些二元三次或四次的不定方程也用到它。佩爾方程一個直接的應用是可以證明:在實二次域
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二元二次不定方程 一般的二元二次不定方程可寫為
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設D=b2-4αс>0,D不是一個平方數,
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不定方程αx2+by2=сz2 1785年,A.-M.勒讓德證明瞭:若不定方程
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莫德爾方程 設k為整數,不定方程
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三個世紀以來,對不定方程(13)的研究從未停止過,眾多的數學傢運用各種方法研究方程(13)的整數解或有理數解。這些工作豐富和發展瞭數論的內容。17世紀,P.de費馬宣佈他發現一個美妙而精巧的方法,證明瞭方程y2=x3-2僅有整數解x=3。和他的許多定理一樣,他的證明始終沒有被發現。直到1875年,T.佩平給出瞭一個完全的證明:因為x扝0(mod2)和
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圖埃定理 1909年,A.圖埃證明瞭一個重要結果:設n≥3,
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這個定理的證明依賴於下列的結果:設θ是一個次數n≥3的整系數不可約多項式的根,則隻有有限組整數x,y>0適合
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運用丟番圖逼近論的方法,1968年,A.貝克給出瞭方程(14)解的一個可計算的上界。他還定出瞭另外許多類不定方程解的上界。貝克的出色工作,曾得到1970年的費爾茲獎。
四次方程αy2=bx4+с 對於不定方程
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對於方程(17)、(18)和方程x3+b3=Dy2(b=±1,±2),永格倫、J.H.E.科恩、柯召和孫琦等,還曾用初等的方法解決瞭其中某些情形。
費馬大定理 用不定方程來表示的費馬大定理是:設n>2,不定方程
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1637年,費馬聲稱他已經證明瞭上述定理,然而他的證明始終未被發現。300多年過去瞭,這個定理至今未能證明,也無法否定。於是後人有把它稱為費馬最後定理、費馬猜想或費馬大問題等。一般傾向性的看法是,費馬那個未曾寫出來的證明是錯的。歷史上,曾有許多優秀的數學傢為瞭證明這個定理,付出瞭巨大的精力。為瞭證明費馬大定理,隻需證明方程
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卡坦朗猜想 稱αm為正整數的乘冪,其中α是正整數,m是大於1的整數。E.卡坦朗在1842年猜想:除開8=23,9=32外,沒有兩個連續數都是正整數的乘冪。用不定方程的形式,可寫猜想為:不定方程
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實際上,可以進一步假定方程(20)中p≠q。q=2的情形,在19世紀早已證明。比較困難的是p=2的情形,直到1962年,柯召給出瞭一個初等而簡練的證明,其證明方法也是富有啟發性的。即他證明瞭不定方程x2-1=yp(p>3是一個奇素數)無正整數解。1961年前後,柯召和J.W.S.卡斯爾斯分別獨立地證明瞭沒有三個連續數都是正整數乘冪這一著名的弱型卡坦朗猜想。R.特艾德曼證明瞭:存在可計算的絕對常數с,方程xm=yn+1(x,y,m,n皆≥2)的整數解適合於xm<с。近來,還可以算出logloglogс<1000。
當前,不定方程中比較成熟的方法是處理二個變元的不定方程。三個變元以上的高次不定方程,常常是很困難的。1960年,柯召和卡斯爾斯分別獨立地證明瞭不定方程x3+y3+z3=xyz無xyz≠0的整數解,從而證明瞭W.謝爾平斯基認為是很難的一個猜想:不存在三個有理數,它們的和與積都等於1。有的看來很簡單的不定方程,如
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又如下列這個沒有加減號的不定方程
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參考書目
L.J.Mordell,Diophantine Equations,Academic Press,New York,1969.
柯召、孫琦著:《談談不定方程》,上海教育出版社,上海,1980。
L.E.Dickson.History of the Theory of Number,Vol.2,Carnegie Institution of Washington,Washington,1920.
P.Ribenboim,13 Lectures on Fermat's Last Theorem,Springer-Verlag,New York,1980.