關於方程的一種一般理論。數學裏到處要解方程，諸如代數方程、函數方程、微分方程等等，種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成f(x)=x的形狀，這裏x是某個適當的空間X中的點，f是從X到X的一個映射或運動，把每一點
常見的不動點定理 壓縮映射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：設X是一個完備的度量空間，映射f：X→X把每兩點的距離至少壓縮λ倍，即d（f（x），f(y))≤λd(x，y)，這裡λ是一個小於1的常數，那麼f必有而且隻有一個不動點，而且從X的任何點x0出發作出序列
這序列一定收斂到那個不動點。這條定理是許多種方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理論基礎。由於分析學的需要，這定理已被推廣到非擴展映射、概率度量空間、映射族、集值映射等許多方面。
佈勞威爾不動點定理(1910)：設X是歐氏空間中的緊凸集，那麼X到自身的每個連續映射都至少有一個不動點。用這定理可以證明代數基本定理：復系數的代數方程一定有復數解。把佈勞威爾定理中的歐氏空間換成巴拿赫空間，就是紹德爾不動點定理(1930)，常用於偏微分方程理論。這些定理可以從單值映射推廣到集值映射，除微分方程理論外還常用於對策論和數理經濟學。
不動點指數 不動點的個數有兩種數法。代數上通常說n次復多項式有n個復根，是把一個k重根算作k個根的；如果不把重數統計在內，根的個數就可以小於n。推廣根的重數概念，可以定義不動點的指數，它是一個整數，可正可負可零，取決於映射在不動點附近的局部幾何性質。一個映射的所有不動點的指數的總和，稱為這映射的不動點代數個數，以別於不動點的實際個數。萊夫謝茨不動點定理：設X是緊多面體，f：X→X是映射，那麼f的不動點代數個數等於f的萊夫謝茨數L(f)，它是一個容易計算的同倫不變量，可以利用同調群以簡單的公式寫出。當L(f)≠0時，與f同倫的每個映射都至少有一個不動點。這個定理既發展瞭佈勞威爾定理，也發展瞭關於向量場奇點指數和等於流形的歐拉數的龐加萊－霍普夫定理，把它進一步推廣到泛函空間而得的勒雷－紹德爾參數延拓原理，早已成為偏微分方程理論的標準的工具。
J.尼爾斯1927年發現，一個映射f 的全體不動點可以自然地分成若幹個不動點類，每類中諸不動點的指數和都是同倫不變量。指數和不為0的不動點類的個數，稱為這映射的尼爾斯數N(f)。隻要X是維數大於2的流形，N(f)恰是與 f同倫的映射的最少不動點數。這就提供瞭研究方程的解的實際個數（而不隻是代數個數）的一種方法。
萊夫謝茨定理的一個重要發展是關於微分流形上橢圓型算子與橢圓型復形的阿蒂亞－辛格指標定理與阿蒂亞-博特不動點定理。
不動點的計算 上述各種不動點定理，除壓縮映射原理外，都未給出不動點的具體求法。由於應用上的需要，不動點算法的研究正在蓬勃發展，以求把拓撲的思路落實為快速、實用的計算方法。
參考書目
江澤涵著：《不動點類理論》，科學出版社，北京，1979。
V.I.Istratescu，Fixed Point Theory，an Introduction，D.Reidel Pub.Co.，Dordrecht，1981.
B.Jiang，Lectures on Nielsen Fixed Point Theory，Amer.Math.Soc.，Providence，1983.
M.J.Todd，The Computation of Fixed Points and Applications，Springer-Verlag，New York，1976.