佈朗運動

　　又稱維納過程。1827年，英國植物學傢R.佈朗觀察到懸浮在液體中的微粒子作不規則的運動，這種運動的數學抽象，就叫做佈朗運動（如圖

佈朗運動 ）。1905年，A.愛因斯坦求出瞭粒子的轉移密度。1923年，美國數學傢 N.維納從數學上嚴格地定義瞭一個 隨機過程程來描述佈朗運動。佈朗運動的起因是由於液體的所有分子都處在運動中，且相互碰撞，從而粒子周圍有大量分子以微小但起伏不定的力共同作用於它，使它被迫作不規則運動。若以 X( t)表示粒子在時刻 t所處位置的一個坐標，如果液體是均勻的，自然設想自時間 t ₁到 t ₂的位移 X( t ₂)- X( t ₁)是許多幾乎獨立的小位移之和，因而根據 中心極限定理，可以合理地假定 X( t ₂)- X( t ₁)遵從 正態分佈，而且對任何0≤ t ₀＜ t ₁<…＜ t _n，增量 X( t ₁)- X( t ₀)，…， X( t _n)- X( t _{n -1})，可設想為相互獨立。物理上的這些考慮引導到下面的數學定義。

　　設X＝{X(t)，t∈R₊}為定義在概率空間(Ω，F，P)(見概率）上，取值於d維實空間R^d中的隨機過程，若滿足①X(0)=0；②獨立增量性：對任意的0≤t₀＜t₁<…＜t_n，X(t₀)，X(t₁)-X(t₀)，…，X(t_n)-X(t_n-1)是相互獨立的隨機變量；③對任意s≥0，τ>0，增量X(s+τ)-X(s)服從密度為

的 d維正態分佈，式中 ，表示 x到原點的距離；④ X的一切樣本函數連續。這樣的 X稱為（數學上的）佈朗運動或維納過程。

　　維納的一個重要結果，是證明瞭滿足①～④的過程的存在性。這樣的過程X是獨立增量過程，因而是馬爾可夫過程，而且還是鞅和正態過程（見隨機過程）。其均值函數是一個各分量恒等於零的d維向量函數：EX(t)=0；其協方差陣函數（見矩）EX(t)X(s)′=(s∧t)I^d，其中I^d是d階單位方陣，s∧t表示s、t中小的一個，X(s)′是隨機向量X(s)的轉置。

　　一維佈朗運動的性質中有特色的是其樣本函數（見隨機過程)的性狀。雖然X的所有樣本函數處處連續，但幾乎所有(即概率為1)的樣本函數：①處處不可微分；②在任一區間中非有界變差，當然更不單調；③局部極大點在R₊=[0，

)中形成一個可列稠集，而且每一個局部極大值都是嚴格極大的；④二次變差 - 當區間[0， t]的加密分割

的直徑 趨於0時，以概率1收斂（見 概率論中的收斂）到 t；⑤零點集 S ₀(ω)={ t∈ R ₊， X( t，ω)=0}是勒貝格測度（見 測度論）為零的無界完全集。此外， X限於區間[0，1]上的軌道在 C[0，1]中具有下述意義的稠密性：任給[0，1]上的一個滿足f(0)=0的連續函數f和任給ε>0，總有 。

　　不屬於樣本函數性狀的一個重要性質是佈朗運動的級數表示：設{ξ_n，n≥0}為獨立同分佈的標準正態隨機變量序列，令

則此級數在0≤ t≤π上以概率1一致收斂，且{ X( t)， t∈[0，π]}是佈朗運動。

　　多維佈朗運動有一個依賴於維數的有趣性質，就是常返性。當d=1，2時，佈朗運動是常返的：即從任何一點α∈R^d出發，且任意指定一個α的鄰域A，則過程或遲或早地返回A的概率等於1。當d≥3時，此性質不再保留，這時自α 出發作佈朗運動的粒子將以概率1趨於無窮，即

，這裡 X _α( t)=α+ X( t)表示自α出發的佈朗運動。因而自某一時刻以後，粒子不再回到α的附近，而且 d(≥3)越大，粒子趨於無窮的速度也越快。設 B _r是以 O為中心，以 r為半徑的球，定義粒子最後一次離開 B _r的時刻為λ _r=sup{ t＞0： X( t)∈ B _r}，λ _r稱為 B _r的“末離時”。從 O出發的佈朗運動 X首達 B _r的點與末離 B _r的點在球面上都有相同的均勻分佈，而且λ _r的概率分佈密度函數為

由此可知 E(λ _r) ^m＜ 的充分必要條件是 ，這時 E(λ _r) ^m＝ r ^{2 m}/( d-4)( d-6)…( d-2 m-2)。因此，當 d=3、4時，λ _r各階矩不存在； d=5、6時，均值(見 數學期望)有限， 方差無窮；等等。這說明 d越大，粒子越快地離開球 B _r。

　　d(≥2) 維佈朗運動與拉普拉斯算子

有密切聯系，從而使著名的狄利克雷問題可以用概率方法求解。例如設 D為平面上的有界區域，其邊界∂ D充分光滑。在∂ D上給定連續函數 g( x)，考慮下列狄利克雷問題：求給定邊界條件 h( x)= g( x)， x∈∂ D下， 拉普拉斯方程Δ h=0在區域內的（惟一）解。對任何 x∈ D，令τ _x=inf{ t＞0： x+ X( t)∈ D ^c}( D ^c= R ^d\ D，即 D的補集)，它是從 x出發作佈朗運動的粒子首達 D ^c的時刻， x+ X(τ _x)是該粒子首達 D ^c的點，而 h( x)= E g[ x+ X(τ _x)]， x∈ D就是上述狄利克雷問題的惟一解。這一例子所反映的佈朗運動與古典位勢之間的關系是普遍的，近來又發展成為一般馬爾可夫過程與現代位勢論之間的深刻聯系（見 馬爾可夫過程）。

　　

參考書目

　K.Itô and H.P.McKean Jr.，Diffusion Processes and Their Sample Paths，Springer-Verlag，Berlin，1965.

　D.Freedman，Brownian Motion and Diffusion，SpringerVerlag，Berlin，1983.