佈林代數-百科詞條

　　首先是G.佈林為瞭研究思維規律（邏輯學、數理邏輯）於1847年和1854年提出的。它作為一種特殊的格則是J.W.R.戴德金之後的事情。所謂一個佈林代數，是指一個有序的四元組〈B，∨，∧，* 〉，其中B是一個非空的集合，∨與∧ 是定義在B上的兩個二元運算，*是定義在B上的一個單項運算，並且它們滿足以下下條件：A1.α∨b=b∨α，α∧b=b∧α；A2.(α∨b)∨с=α∨(b∨с)，(α∧b)∧с=α∧(b∧с)； A3.(α∧b)∨b=b，(α∨b)∧b=b； A4.α∧(b∨с) =(α∧b)∨(α∧с)，α∨(b∧с)=(α∨b)∧(α∨с)；A5.(α∧α

)∨ b= b，(α∨α

)∧ b= b，對於任意的α、 b、с∈ B均成立。或者，佈爾代數定義為具有最大元和最小元的有餘（有補）的分配格。

　　設B₂={0，1}是由兩個元素0與1所組成的集合。它的兩個二元運算和一個一元運算定義如下：0∨0=0，0∨1=1∨0=1∨1=1；0∧0=0∧1=1∧0=0，1∧1=1；0

=1， 1

=0。可以驗證， B ₂是一個佈爾代數。

　　設B={1，2，3，5，6，10，15，30}是30的正因子的集合。規定∨是取它們的最小公倍數，∧是取它們的最大公因數：*是：1

=30， 2

=15， 3

=10， 5

=6， 6

=5， 10

=3， 15

=2， 30

=1，容易驗證 B對於所定義的運算成為一佈爾代數。

　　如果一個環R＝〈R，+，·〉具有單位元1，並且對任意的α∈R，有α²=α，那麼R稱為佈爾環。令R是佈爾環，若定義α∨b=α+b+α·b，α∧b=α·b，α

=1+α，則 R在所定義的運算下成為一個佈爾代數。

　　設R是由所有的實數組成的集合。由單元集和區間的有限並所組成的集合B，在集合的並(∪)、交(∩)、餘(C)運算之下是一個佈爾代數。所謂單元集，是指僅由一個實數所組成的集合。區間可以是有界的或無界的，閉的或開的或半開（閉）的。

　　令X是一個固定的集合。X的所有子集組成的集合稱為X的冪集，記為P(X)={S│S⊆X}。設B是P(X)的子集，並且{ø，X}⊆B⊆P(X)。如果B在集合論的並(∪)、交(∩)、餘(C)有限次運算下是封閉的，那麼這樣的B在把有限次並、交、餘作為∨、∧、*運算時，是一個佈爾代數。這種佈爾代數，常常稱為集域（集場）。特殊地，取B=B₂={ø，X}，B=P(X)，B={S∈P(X)│S為有限集或有限集的餘集}，……，均為集域。當X={α₁，α₂，…，α_n}是有限集時，則P(X)={S│S⊆X}={{α_i₁，α_i₂，…，α_i_k}│i₁，i₂，…，i_k是1，2，…，n中取k個的組合，0≤k≤n}=2^X=2ⁿ也是一個集域。它是由有限個元素所組成的佈爾代數（有限佈爾代數）。

　　令〈X，τ〉是一個拓撲空間，τ是X上的一個拓撲，B={S⊆X│S既是開集，同時又是閉集}。在集合論的並、交、餘運算下B是一個佈爾代數，並稱之為閉開代數。若取B={S⊆X│S的邊界是無處稠密的｝，則此時B也是一個佈爾代數。

　　令〈X，τ〉是一個拓撲空間，X的子集S是正規的閉集，當且僅當S的內部的閉包等於S，即

。若 B={ S ⊆ X│ S是正規的閉集｝，二元運算∨是指集合的並運算，二元運算∧是指經集合的交運算後再取其內部的閉包，即

， S、 T∈ B。一元運算*是指經集合的餘運算後再取閉包，即

，則 B是一個佈爾代數，也稱為拓撲空間〈 X，τ〉的正規閉集代數。類似地，當取 B={ S ⊆ X│ S是正規的開集}。所謂正規的開集 S，是指

。再定義運算：

， S∧ T= S∩ T；

，則此時 B也是一個佈爾代數，也稱為正規開集代數。

　　在概率論中，設B=｛S│S是隨機事件｝，即所有隨機事件的全體。不可能事件及必然事件均視作隨機事件。這樣的B在邏輯聯結詞"或"(可得兼的"或")、“與”、“否定”運算之下是一個佈爾代數。

　　在數理邏輯中，基於二值邏輯的一個形式理論的所有公式，在邏輯聯結詞“析取”、“合取”、“否定”運算下，是一個佈爾代數，也稱之為林登鮑姆-塔爾斯基代數。

　　佈爾代數到瞭20世紀30～40年代才又有瞭新的進展，大約在1935年，M.H.斯通首先指出佈爾代數與環之間有明確的聯系，他還得到瞭現在所謂的斯通表示定理：任意一個佈爾代數一定同構於某個集上的一個集域；任意一個佈爾代數也一定同構於某個拓撲空間的閉開代數等，這使佈爾代數在理論上有瞭一定的發展。佈爾代數在代數學（代數結構）、邏輯演算、集合論、拓撲空間理論、測度論、概率論、泛函分析等數學分支中均有應用；1967年後，在數理邏輯的分支之一的公理化集合論以及模型論的理論研究中也起著一定的作用。

　　近幾十年來，佈爾代數在自動化技術、電子計算機的邏輯設計等等工程技術領域中有重要的應用。

　　例如，在邏輯設計中，要考慮取值於B₂中的元素的佈爾變元x₁，x₂，…，x_n，以及函數值也在B₂內的n個佈爾變元的佈爾函數f(x₁，x₂，…，x_n)。令x

=1- x= x ^-1， x∨ y=max{ x， y}， x∧ y=min{ x， y}，於是任一佈爾函數可表示成如下的形式：

或

，

。這種形式稱為f的(完全的)析取范式(或完全的合取范式)。根據設計要求可先列出真值表（f的列表表示），由真值表寫出f的析取范式（或合取范式）。化簡佈爾函數的表達形式在實際應用中是特別重要的，因為根據最簡表達形式進行設計，不僅在功能（實際效果）上是等效的，而且更有意義的是這種設計簡單、經濟、可靠，因而壽命也長。化簡的方法，大體上從20世紀50年代開始有所謂卡諾圖的方法，奎因-麥克魯斯基方法等等。