在離散資料的基礎上補插出連續函數。是計算數學中最基本和常用的手段，是函數逼近的重要方法。利用它可通過函數在有限個點處的取值狀況，估算該函數在別處的值。早在西元6世紀，中國劉焯已將等距二次插值法用於天文計算。17世紀，I.牛頓和J.格雷果裏建立瞭等距結點上的一般插值公式。18世紀，J.-L.拉格朗日給出瞭更一般的非等距結點上的插值公式。在近代，插值法是觀測資料處理和函數製表所常用的工具，又是導出其他許多數值方法（例如數值積分、非線性方程求根、微分方程數值解等等）的依據。
插值問題的提法是：假定已知區間[α，b]上的實值函數 f(x)在該區間中n+1個互不相同的點x0，x1，…，xn處的值是f(x0)，f(x1)，…，f(xn)，要求估算f(x)在[α，b]中某點x=x處的值。插值的作法是：在事先選定的一個由簡單函數所構成的含n+1個參數C0，C1，…，Cn的函數類φ(C0，C1，…，Cn)中求出滿足條件
(1)
的函數p(x)，並以p(x)作為 f(x)的估值。此處，函數f(x)稱為被插函數；x0，x1，…，xn稱為插值結點；φ(C0，C1，…，Cn) 稱為插值函數類；式（1）稱為插值條件。φ(C0，C1，…，Cn)中滿足插值條件(1)的函數p(x)稱為插值函數。誤差函數
稱為插值餘項，它標志著插值的精度。此外，當估值點
x屬於包含結點
x
0，
x
1，…，
x
n的最小閉區間時，稱相應的插值為內插，否則稱為外插。
多項式插值 插值函數類取成代數多項式類的情形，是最常用的一種插值。此時對[α，b]上的任何實值函數f(x)都相應地有惟一的次數不超過n多項式p(x) 滿足插值條件(1)。p(x)稱為f(x)的插值多項式。當f(x)在[α，b]上n+1次可微時，插值餘項為
式中ζ是在包含
x，
x
0，
x
1，…，
x
n的最小閉區間中的某一點。
下面兩種插值公式是p(x)的具體表達式：
① 拉格朗日插值公式
式中
稱為拉格朗日插值公式的基函數。它們具有性質
特別當
n=1時，插值多項式簡化為
其幾何圖像為通過點(
x
0，f(
x
0))和(
x
1，f(
x
1))的直線，因此被稱為線性插值公式。類似的理由，當
n=2時相應的插值公式稱為拋物線插值公式。
② 牛頓插值公式
式中f(x0，x1，…，xk)為函數f(x)在點x0，x1，…，xk上的k階差商（或均差）。各階差商由下列遞推方式定義：
k階差商與函數f(
x)在結點上的值之間有下列關系：
拉格朗日插值公式和牛頓插值公式是同一插值多項式p(x)的不同表現形式。前者結構緊湊、意義清晰和便於理論分析；後者在實際計算時較為方便：若要增加新的插值結點，隻需相應地添加新的項即可。
對於等距的插值結點，即當
時，經過變數替換
x=
x
0+
t
h，上述牛頓插值公式轉化為牛頓向前插值公式
此處Δk表示步長為h的k階差分算子，其定義是：
埃爾米特插值 插值條件帶微商的插值，其插值條件為
在所有次數不超過2
n+1的多項式中，滿足上述插值條件的多項式是存在和惟一的，並可表為
(3)
式中
l
i(
x)由(2)式定義。
H(
x)稱為函數f(
x)的埃爾米特插值多項式。當f(
x)在[α，
b]上
2
n+2次可微時，插值餘項為
式中ζ是在包含
x，
x
0，
x
1，…，
x
n最小閉區間中的某一點。由於埃爾米特插值多項式在結點處不但與被插函數取值相同而且變化率也相同，因此它通常比拉格朗日插值多項式能更好地近似被插函數。(3)是一種最基本、最重要的埃爾米特插值多項式。此外，在插值結點上，作為插值條件，還可以給出逐次高階微商值，並且在每個結點上的插值條件個數可以是互不相同的。
古典的有限項泰勒展開式也可看作是埃爾米特插值多項式，其所有的插值條件都加在一個點上。反之，也可將埃爾米特插值多項式看作是多中心泰勒展開式。
分段插值 在實用中很少采用高次多項式插值（例如7、8次以上的多項式插值），因為在被插函數不夠光滑或插值結點選擇不當時，高次插值多項式常常在被插函數附近激烈地擺動，不能逼近被插函數；再者，高次插值多項式常常將插值條件的數據中含有的誤差過分地放大和擴散。因此，在實用中，往往是先將全區間分成許多小區間，然後在每個小區間上，采用低次插值（例如一次、二次或三次插值）。通常稱這樣的方法為分段插值法。如將小區間的端點取為插值結點，則相鄰區間的兩插值多項式在公共結點處將取相同的值，即兩段多項式曲線在公共結點處銜接。實踐表明，用分段的低次插值多項式逼近被插函數往往比在全區間上用高次插值多項式逼近效果好。
樣條插值 一種非局部性的分段插值。在每個分段點處相鄰插值曲線段的銜接具有一定的光滑度。最常用的一種是三次多項式樣條插值：給定結點x0＜x1<…＜xn和想應的函數值f(x0)，f(x1)，…，f(xn)，取內結點x1，x2，…，xn-1作為分段點，尋求一個插值函數S(x)，它在每個小區間[xi-1，xi]（i=1，2，…，n）上分別都是三次多項式，在結點處滿足插值條件
並在每個分段點處滿足直到二階微商的連續性條件
這裡共有
4
n-2個條件，而分段三次多項式
S(
x)在每個小區間上各含有4個系數，共計
4
n個待定系數。因此，在端點
x
0和
x
n處各給定一個邊界條件之後，插值問題可惟一定解。更一般地，若插值函數
S(
x)為分段
k次多項式，在諸結點上取給定值並且在各分段點處有直到
k-1階的連續微商，則
S(
x)稱為
k次多項式樣條插值。
三角插值 插值函數類為三角多項式類的情形。當被插函數f(x)是以2π為周期的函數時，通常用n階三角多項式
作為插值函數類。對於任取的2
n+1個不同的實數
x
0，
x
1，…，
x
2
n，隻要它們兩兩之差都不是2π的整數倍，則滿足插值條件
的階數不超過
n的三角插值多項式
T(
x)是存在而且惟一的。同拉格朗日插值公式的結構相似，
T(
x)可通過如下的高斯三角插值公式表出：
有理插值 插值函數類取成有理函數類的情形。當被插函數具有極點或其他奇點時，用有理插值往往很有效。假定已知被插函數f(x)在m+n+1個互不相同的點xn，x1，…，xm+n處的值為f(x0)，f(x1)，…，f(xm+n)。有理插值就是求一個形如
的有理分式函數，使其滿足插值條件
並以
R
m
，
n(
x)作為 f(
x)的近似。若
R
m
，
n(
x)的分子和分母有公因式，則可以把它們約掉，將所得的既約分式和原來的分式看作同一分式。滿足上述插值條件的有理分式
R
m
，
n(
x)有時可能不存在，但在很多情況下這種插值有理分式是存在而且惟一的，其系數α
i和
b
i可通過解由插值條件導出的線性方程組
加以確定。
多元插值 一元插值法的多元推廣。其插值函數類可取為多元多項式，多元三角函數，多元樣條，多元有理分式等。
參考書目
胡祖熾編：《計算方法》，高等教育出版社，北京，1959。
J.F.Steffensen，Interpolation，2nd ed.，Chelsea，New York，1950.
P.J.Davis，Interpolation and ApproxiMation，Blaisdell，New York，1963.