常微分方程初值問題

　　求常微分方程

　　　(1)

滿足初值條件

　　　(2)

的解的問題。其中， <x屬於 n維歐幾裡得空間 R ⁿ，f是由 R ^{n +1}中的開域 G到 R ⁿ的映射。 n=1時，(1)、(2)表示純量方程； n≥2時，它們表示向量方程。常微分方程初值問題包括以下的問題：初值問題(1)＋(2)是否有解；解是否惟一；解的存在區間有多大；當初值( t ₀， x ⁰)變化時，解如何變化；當方程(1)的右端函數f添進參數λ，即方程(1)變為 時，解同參數λ有何依賴關系；等等。初值問題是 A.-L.柯西於19世紀30年代首先提出的，所以又叫柯西問題。在這之前，求解常微分方程是企圖求其通解，但能夠求出通解的隻是一些特殊的方程，而在力學和物理學中出現的大多數方程都無法求出通解。柯西從另一種觀點考慮，提出瞭初值問題，並采用優函數方法，在函數f( t， x)於點( t ₀， x ⁰)的某個鄰域裡解析的條件下第一次證明瞭初值問題(1)+(2)的解析解的存在惟一性。所謂優函數是指：若f( t， x)、 F( t， x)均在點( t ₀， x ⁰)的某一鄰域內解析，設

　且滿足條件α _mn＞0，|α _mn|＜α _mn，則 F( t， x)稱為f( t， x)的優函數，記為f＜ F。此後，又在函數f連續可微的假設下證明瞭初值問題解的存在性。

　　為簡單起見，以下沒有特別指明之處，都是對n=1的情況而言的，但所有結論對一般的n都成立。

　　解的定義　常微分方程解的定義甚多，不同意義下的解，初值問題的結果不同。最常見的是所謂牛頓解或稱經典解。若函數φ(t)在某個區間I上有定義且連續可微；當t∈I時(t，φ(t))∈G；且在I上滿足方程(1)，即：

t∈ I，則稱 φ( t)是方程(1)的一個牛頓解或經典解，簡稱為(1)的解。其他意義下的解是其推廣。

　　解的存在性　初值問題(1)+(2)並非都有解存在。例如，初值問題

的解就不存在。甚至有的方程在它右端函數定義域上的任何一點都無解存在。例如方程 其中當 x為無理數時f( x)=0，當 x為有理數時 f( x)=1，就是如此。初值問題有解存在的基本定理是柯西-皮亞諾存在定理：若f( t， x)在矩形域 R(│ t- t ₀│≤α│ x- x ⁰│≤ b)上連續，則初值問題(1)+（2）在區間│ t- t ₀│≤ h上至少存在一個解 x( t)。在這裡， ，（圖1）。

從點( t ₀， x ⁰)向左右兩邊作歐拉折線序列{ x _m( t)}：

　 (3)

　　　　　　　　　　(3)由阿斯科利-阿爾澤拉引理（一個在閉區間[α， b]上一致有界且同等連續的無窮函數序列，必可從中選取一個在此區間上一致收斂的子序列）可以證明此序列存在一致收斂的子序列，它於| t- t ₀|≤ h上收斂於初值問題的解，從而可以證明上述存在定理。這個定理也可以用紹德爾不動點定理給以證明。值得指出，上述歐拉折線公式(3)是常微分方程數值解法的基本公式之一。

　　解的開拓性　柯西－皮亞諾存在定理描述的是解在t₀附近的一個區間上的存在性，因而是一個局部性的定理。若 f（t，x）在某一平面有界區域G上連續，G可能很大，這時，可以用如下方法把在小區間上有定義的解開拓到較大的區間上去。適當地選取 α₀、b₀＞0，作

使 R ₀⊂ G，則過點（ t ₀， x ⁰）至少有方程（1）的一個解 x（ t）在區間│ t- t ₀│≤ h ₀上存在。其中

令

顯然， 則又可適當地選取α ₁ b ₁＞0，作 R ₁： 使 於是可向右邊開拓到區間 t ₁≤ t≤ t ₁+ h ₁上(見圖 2 )。如此繼續下去，可一直開拓到 G的邊界∂ G的任何鄰近。同樣，也可將解 x( t)從點( t ₀- h ₀， x( t ₀- h ₀))向左邊開拓。如此經開拓而得的解稱為方程(1)過點( t ₀， x ⁰)的飽和解。飽和解的定義區間稱為解的最大存在區間；它必為開區間。綜上所述有開拓定理：設f( t， x)在平面有界開域 G上連續，設 x( t)為(1)的任一解（或積分曲線），其最大存在區間為(с， d)，則必有

式中ρ(( t， x( t))，∂ G)表示點( t， x( t))到 G的邊界∂ G的距離。即，隻要f在 G上連續，則方程(1)過 G中任一點的積分曲線必可延至與邊界∂ G無限接近。

　　當G無界時，G上的積分曲線或是開拓到無限接近G的境界線，或者趨向無窮遠。但在接近於G的境界線時，可能是振動的。事實上，不管G是有界還是無界，如果將G的無窮遠處也理解為其邊界，那麼方程(1)過G中任一點的積分曲線必可開拓到G的邊界。因此，下面的結論總是成立的：

　　設x(t)的最大存在區間是(α，b)，則t→α+或t→b－時有

　　　(4)

式中 M( t)=( t， x( t))為積分曲線上的點坐標；

　　解的惟一性　f(t，x) 的連續性不能保證初值問題(1)+(2)的解惟一。例如方程

其右端函數在整個平面 R ²上定義且連續，但過點(0，0)的解至少有兩個： x ₁( t)=0和 實際上這時有無限個解通過這個點(圖 3 )，形成過點(0，0)的一束解(稱其為皮亞諾束)。這是平面情形。對一般的 n，若方程(1)在域 上過點( t ₀， x ⁰)的解不惟一，則過此點的積分曲線的全體形成一個漏鬥狀的集合，稱為積分漏鬥。

　　惟一性條件　初值問題解的惟一性條件，最常用的是李普希茨條件。設f(t，x)在R：|t-t₀|≤α，│x-x⁰│≤b上連續，存在常數K使

當 時，則說f（ t， x）在 R上滿足李普希茨條件。此外，常見的還有奧斯古德條件：

當 時。其中ω( r)在 r≥0上非負連續，

還有卡姆克條件：

當 時。其中ω( t， r)是0＜ t＜α， r≥0上的連續非負函數，對任何α∈(0，α)，在0≤ t≤α上連續可微的函數 r( t)≡0是滿足方程 及條件 r(0)=妝 ₊(0)=0在區間0＜ t≤α上的惟一解。

　　如果f(t，x)滿足這些惟一性條件，則方程(1)隻能有一個滿足初值條件(2)的解(惟一性定理)。這個定理可以用比較原理給以證明。在李普希茨條件下，解的存在性可以作皮卡逐步逼近序列 {x_m(t)}於│t-t₀│≤h上一致收斂於此解來證明。這些惟一性條件隻保證解的局部惟一性。但隻要f在域G中每一點都滿足惟一性條件，則方程(1)過G中任一點的飽和解都是惟一的。惟一性的討論已有一百多年的歷史，至今仍有人在研究，並相繼提出瞭許多惟一性條件。

　　解對初值和參數的相依性　在應用初值問題描述一個物理過程時，由於初值和方程(1)的右端函數通常由實驗測定，而小的測量誤差可能引起解的很大變化，因此在應用中（如在變分法和最優控制等學科中），就需要考察初值和參數變化時解的變化規律。於是解對初值和參數的依賴關系在理論上和應用上都很重要。

　　考慮帶參數的常微分方程

　　 (1) _λ

式中( t， x)∈ G， G是 R ^{n +1}中的開域，λ∈ I _λ， I _λ是開區間，f： G× I _λ→ R ⁿ。為瞭表明解對初值和參數的依賴關系，把方程(1) _λ滿足初值條件(2)的解記為 x= φ( t， t ₀， x ⁰，λ)；而 φ( t ₀， t ₀， x ⁰，λ)= x ⁰。

　　解對初值和參數連續的一般定理　設 f（t，x，λ）在G×I_λ上連續，關於x滿足李普希茨條件，即存在常數K＞0，使

那麼對每個( t ₀， x ⁰)∈ G，λ∈ I _λ，存在通過( t ₀， x ⁰)的 惟一解 x= φ( t， t ₀， x ⁰，λ)，其定義域是 R ¹× G× I _λ中的開集 E，在 E上 φ( t， t ₀， x ⁰，λ)是連續的。這個定理隻表明過點（ t ₀， x ⁰）的解在定義區域內是連續的，但並沒有反映當初值和參數變化時解在 t的定義區間上整體的變化情況。下面的定理指出瞭對某個大范圍內的 t，解對初值和參數連續是一致的。

　　解對初值和參數的整體連續性定理　　設f(t，x，λ)滿足上述定理的條件，又設x＝ψ(t)是方程(1)_λ當λ=λ時的解，其最大存在區間為(с，d)。對任一閉子區間[α，b]⊂（с，d），存在δ>0，使當

時，對任意 和λ∈( λ-δ， λ+δ)，則方程(1) _λ的惟一解 φ（ t， t ₀， x ⁰，λ）至少在[α， b]上有定義，且是變量 t， t ₀， x ⁰，λ在區域[α， b]× U _δ×（ λ-δ， λ+δ）上的連續函數。並且對任意慪∈[α， b]，當 時， φ( t， t ₀， x ⁰，λ)→ψ( t) 對 t∈[α， b]一致成立。對任意 ε>0，存在δ>0，使當│ x ⁰- ψ( t ₀)|<δ，|λ- λ|<δ時有 | φ( t， t ₀， x ⁰，λ)-ψ( t)│＜ε， t∈[α， b]。

　　上述兩定理中，f（t，x，λ）關於x滿足李普希茨條件，目的是保證解的惟一性。事實上，隻要初值問題(1)_λ+(2)的解是惟一的，那麼上面兩定理仍然成立。

　　解對初值和參數的可微性定理　設f（t，x，λ）在G×I_λ內關於(x，λ)連續可微，那麼初值問題(1)_λ+(2)的解x＝φ(t，t₀，x⁰，λ)作為變量(t，t₀，x⁰，λ)的函數在其定義域內連續可微。

和 作為 t的函數分別滿足初值問題

和

作為 t的函數滿足矩陣微分方程的初值問題 X(0)= E。 E為 n× n單位矩陣。

　　在上面三個定理中，固定 λ時，就分別得到解對初值的有關依賴性定理。

　　初值問題的推廣　當f(t，x)連續時，就能保證牛頓解的存在性，但在實際應用中出現瞭f(t，x)為不連續的情形，這類方程已成為現代微分方程理論研究的一個重要課題。前面已有例子表明，f(t，x)不連續時，不一定有牛頓解存在，因此很有必要推廣解的概念。到目前為止，已有多種解的推廣，下面簡述常遇到的卡拉西奧多裡解的概念和一個存在性定理。設φ(t)是區間I上的絕對連續函數，對t∈I上除瞭一個測度為零的集合外，滿足方程

則 φ( t)稱為方程(1)的卡拉西奧多裡解或卡氏解。

　　卡拉西奧多裡存在定理　設f(t，x)在G上定義，對每個固定的x關於t可測，對每個固定的t關於x連續；對任一有界閉域D⊂G，存在勒貝格可積函數m(t)，使得當(t，x)∈D時 |f(t，x)|≤m(t)，則方程(1)存在一個滿足初值條件(2)的卡氏解。當f(t，x)在G上連續時，卡氏解就歸結為牛頓解。

　　常微分方程初值問題在常微分方程理論的發展中有著重要的作用，在實際應用中也極其重要，在促進某些數學分支的發展中也起瞭很大的作用。到目前為止，這方面的研究還在進行。