向量分析在數學、物理各分支中的一種非常有用的理論。

　　數量場與向量場　定義在空間某確定範圍內每一點處的某種物理量稱為一個場。用數學術語講，就是在該範圍內定義瞭一個點函數。不過這種量（函數值）可以是數量（如溫度、電位等），也可以是向量（如速度、引力等）。前者稱為數量場，後者稱為向量場，分別記為u(P)與a(P)，這裡P是定義范圍內的動點。

　　在空間引進一直角坐標系Oxyz，P點就有坐標(x，y，z)，於是數量場u=u(P)就可寫成

　　　(1)

向量場 A= A( P)就可寫成

A=A(x，y，z)

　　　　={Ax(x，y，z)，Ay(x，y，z)，Az(x，y，z)}。　　　(2)

它們分別就成為三個變量的數量函數與向量函數。引進坐標系，是為瞭便於對它們進行運算和數學處理，而場本身的性質是與坐標系的選取無關的。

　　下面恒假定以上所遇到的函數在場內都有連續偏導數，這種場也稱為光滑場。

　　梯度　已給一數量場(1)，定義一個向量函數

　　　(3)

稱為 u的梯度，式中 i、 j、 k分別為沿 x軸、 y軸、 z軸正向的單位向量。這向量的方向指向 u( P)增長最快的方向，其模(大小)就是這一最大增長率。所以向量函數(3)雖以坐標形式給出，但它本身卻與坐標系的選擇無關。以向量函數(3)構成的向量場，稱為梯度場(grad是gradient的縮寫，是“傾斜”的意思)。

　　引進一個形式向量的記號

則(3)就可簡寫成

　　一個向量場A，如果它是某數量場u的梯度場A＝gradu，則稱a是一位勢場，而u稱為其位勢。

　　散量　已給一向量場(2)，引進一數量函數

　 　　(4)

稱為 A的散量（或散度）。在場內任取一立體區域 V，其邊界為一光滑曲面 S， S上任意點的外法線單位向量記為 n，則多元微積分中的奧斯特羅格拉茨基公式可以寫成向量形式

如果把 A看成是場中流體穩定流動的速度，則此式右邊表示流體通過曲面 S流出去的流量，因此 div A表示流體在場中各點發散的密度。前者是與坐標選擇無關的，所以後者也是如此。因此， div A構成一個數量場，稱為 a的散量場（div是divergence的縮寫，是“發散”的意思）。在某點 P處 div A＞0，表明流體在該處有一源（有流體噴射到場內）； div A＜0，則表明流體在該處有一匯（有流體滲漏出場外）。

　　如果diva≡0，則稱A為一管量場。

　　旋度　已知一向量場(2)，定義一向量函數

　　　　　　　　　　　　　(5)

稱為 A的旋度。在場中取一光滑曲面片 S，其邊界為一光滑封閉曲線 L。取定 S的一側作為正側，正側法線的單位向量記為 n；由此誘導 L的一正向，正向切線的單位向量記為 t，則斯托克斯公式可改寫為

如前把 A理解為流體速度，則此式左邊刻畫著流體沿 L轉動的程度，是與坐標無關的。由此也可證明 rot A也與坐標選擇無關：其方向表明流體在一點附近繞怎樣的軸旋轉，其模則刻畫著旋轉的(角)速率之半。這就是說 rot A也是一個向量場，稱作 A的旋度場(rot是rotor的縮寫，是“轉動”的意思），也可記作 curl A（curl是“鬈曲”的意思）。

　　如果rota≡0，則稱a為一無旋場。

　　可以證明，無旋場與位勢場這兩概念是等價的。

　　如果不用直角坐標系，而改用別的正交坐標系，則梯度、散量、旋度也有相應的表達公式，不過一般比較復雜。