動力系統的運動穩定性的理論，是由俄國數學傢Α.М.李亞普諾夫於19世紀90年代所開創。它是研究擾動性因素對運動系統的影響。這種擾動性因素，可以是瞬間的作用，引起系統的初始狀態的變化；也可以是持續地起作用，而引起系統本身的變化。通常著重考慮的是前者。微小的擾動對於不同的系統運動的影響是不一樣的。對有些運動，影響不顯著，受擾動的運動與未受擾動的運動相差很小。而對有些運動，擾動的影響可能很顯著，以致無論擾動如何小，受擾動的運動與未受擾動的運動隨時間的推移可能相差差很大。簡略地說，屬於前者的運動是穩定的，屬於後一類型的運動是不穩定的。運動穩定性理論就是要建立一些準則，用來判斷所考慮的運動是穩定的或不穩定的。

　　一般，動力系統的數學模型可寫成

　 　(1)

式中 y i是某些與運動有關的參數，例如坐標和速度，或者一般地是這些量的某些函數。方程(1) 的解稱為運動。要研究的是當初值條件有微小變化時，是否會引起解的微小變化。考慮這個系統的任何特殊運動，它相應於(1)的某個特解

稱這個特解是未受擾動的運動，以區別於這個系統的其他的運動；而稱後者為受擾動的運動。量 y i是受擾動的運動與未受擾動的運動的差值稱為擾動。

　　如果對於任意正數 ε，無論它多麼小，總可以找到另一個正數 η（ε），使得對於所有受擾動的運動yi＝yi(t)(i=1，2，…，n)，隻要在初始時刻t=t0滿足不等式

　　 　(2)

就在所有 t≥ t 0時滿足不等式

(3)

則稱(1)的未受擾動的運動對量 y i是穩定的；否則，稱它是不穩定的。由此可知，如果存在某個固定的數ε，對於無論多麼小的數 η，即使隻有一個受擾動的運動，它滿足不等式(2)，但在某一時刻，不等式(3)中隻要有一個變為等式，那末未受擾動的運動就是不穩定的。如果未受擾動的運動不但是穩定的，而且當初始擾動足夠小時，隨著 t的無限增加，所有受擾動的運動都逐漸趨近於未受擾動的運動，就稱未受擾動的運動是漸近穩定的。

　　為瞭研究方程(1)的特解yi=fi(t)(i=1，2，…，n)的穩定性問題，一般比較困難。為此，對方程(1)引進坐標變換

　　 　 　(4)

於是有

(5)

顯見

　　這樣，就可以把研究方程組(1)的特解yi=fi(t)(i=1，2，…，n)的穩定性問題化為研究系統(5)的平凡解xi=0(i=1，2，…，n)的穩定性問題。

　　此時，不等式(2)及(3)分別變成

　　　 　(6)

及

　　 (7)

因而上述穩定性定義可以表述如下：

　　如果對於任意正數ε，無論它多麼小，都可以選取另一個正數 η(ε)，使得對於所有受幹擾的運動xi=xi(t)(i=1，2，…，n)，隻要在初始時刻t0時滿足不等式(6)，就在所有t≥t0時滿足不等式(7)，則稱(5)的未受擾動的運動xi=0(i=1，2，…，n)是穩定的。否則，則稱xi=0(i=1，2，…，n)是不穩定的。

　　如果未受擾動的運動xi=0(i=1，2，…，n)是穩定的，並且數 η可選得如此之小，使得對於所有滿足不等式(6)的受幹擾運動，都滿足條件

則稱 x i=0(i=1，2，…， n)是漸近穩定的。

　　這就是李亞普諾夫在他的博士論文《運動穩定性一般問題》(1892)中所給出的有關常微分方程解的穩定性定義，通常稱為李亞普諾夫意義下的穩定性。它有下列幾個特點：①首先，李亞普諾夫穩定性概念是一個局部概念，它涉及到在被考慮的狀態附近的特性，因此初始擾動的范圍較小，即η值較小；②時間t取值在無限長區間[t0，+

)上；③初始擾動的大小與初始時刻 t 0的選取無關；④在初始擾動後無其他外界幹擾；⑤未受擾動的運動與受擾動的運動服從於同一個方程，而且對二者在同一時刻進行比較。

　　由於在一般情況下所研究的微分方程，它的解都不能求出來，因此李亞普諾夫在他的上述論文中，提出瞭兩種解決問題的方法，稱之為李亞普諾夫第一方法和第二方法。

　　李亞普諾夫第一方法　基於研究微分方程組的通解或特解而研究受擾動運動的所有方法，都歸屬為第一方法。這個方法一般需要去尋求按任意常數的正整數冪的無窮級數或具有另一些特征的級數形式的解，故又稱冪級數展開法。考慮微分方程組

(8)

設(8)的右端函數可展成 x 1， x 2，…， x n的冪級數，即

\ n

(9)

式中系數 p s r( t)， 對一切 t∈[ t 0，+ )連續、有界，且滿足

　　　　　 　(10)

式中 M， C是與 t， s， m 1，…， m n無關的正常數。李亞普諾夫將(8)的解寫成下述形式的級數

　　　　 　(11)

將(11)形式地代入（8），並將其右端 φ s( t， x 1， x 2，…， x n)重新寫成形如 為項的新的冪級數，其中 Q( t)表示 t的函數。用 R 扤表示這個新的冪級數中 m 1 h 1+…+ m k h k=m的一切項的有限和。再令

\ n

　 (12)

(13)

顯然 R扤僅依賴於 和(9)的系數 p sr( t)及 因此，由(12)、(13)可逐項地確定 x扏， x扐，…，從而形式地得到級數（11）。李亞普諾夫證明：給定任意有限區間[ t 0， T]( T＞ t 0)，存在常數 A，0＜ A＜ C，使得對於一切初值α=(α 1，α 2，…，α n)，‖α‖≤ A，級數(11)對一切 t∈[ t 0， T]和‖α‖≤ A絕對且一致收斂，且 x s( t)是(8)的滿足 x s( t 0)=α s( s=1，2，…， n)的惟一解。進一步，在另一些附加條件下，他還證明瞭：對一切 t≥ t 0，所得的(11)仍是(8)的解，即證得在區間[ t 0，+ )上解的存在性，從而得出關於解的穩定性的結論(見下面定理)。這表明李亞普諾夫存在定理，原則上不同於柯西-皮卡存在定理，它不僅在穩定性方面，而且在常微分方程理論中有非常重要的作用。

　　李亞普諾夫在他研究的第一方法中，引入下述重要概念。

　　① 特征數　設f(t)是定義在t∈[t0，+

)上的連續函數，若存在實數λ，對任何實數ε>0，有

稱λ為函數f( t)的李亞普諾夫特征數，簡稱特征數。記成ⅹ{f}＝λ。如果對一切實數λ都有 定義ⅹ{f}＝+ ；如果對一切實數λ都有 定義 ⅹ{f}=- ，函數f（ t）的特征數 ⅹ{f} 可用公式 計算。函數組 x( t)=( x 1( t)， x 2( t)，…， x n( t))的特征數記成ⅹ{ x 1( t)，ⅹ 2( t)，…， x n( t)}或ⅹ{ x( t)}，它定義為ⅹ{ x( t)}＝min{ⅹ{ x 1( t)}，ⅹ{ x 2( t)}，…，ⅹ{ x n( t)}}。

　　李亞普諾夫建立瞭具有連續、有界系數的線性微分方程組

　 　(14)

的解的特征數的一般理論：(14)的一切非平凡解都有有限的特征數；它不可能有多於 n個特征數互異的非平凡解；它的任意一個基本解系的特征數之和 s滿足

　　② 正規解系　(14) 的一個基本解系稱為正規解系，如果由這個解系中的任一些解作非零系數的線性組合得出來的解的特征數等於參加這個組合的解的特征數的最小者。李亞普諾夫證明：具有連續、有界系數的線性微分方程組(14)必有正規解系；它的一個基本解系為正規解系的充分必要條件是它的特征數之和s達到最大值。

　　③ 正則系統　(14)稱為正則系統，如果(14)的正規解系使得s+μ＝0，其中

(14)稱為非正則系統，如果它的正規解系使得 s+ μ＜0。

　　李亞普諾夫第一方法關於穩定性的定理是：設方程組（8）滿足條件（9）、（10），其中系數psr(t)、

是 t在[ t 0，+ ]上的連續、有界函數；又設（8）的一次近似系統（14）是正則系統，它的所有特征數都是正的。則(8)的零解 x 1= x 2=…= x n=0是漸近穩定的。定理中加之於 φ s( t， x 1， x 2，…， x n)的條件可以減弱。例如，隻需假設 φ s在域│ x s│≤ H( s=1，2，…， n)， t≥ t 0中滿足條件 其中 A＞0， m＞1為常數，並保證(8)的初值問題的解的存在、惟一性。

　　常系數線性系統和周期系數線性系統都是正則系統。常系數線性系統的特征數是該系統的特征根的實部反號。周期系數線性系統的特征數是該系統的特征指數的實部反號。由此可相應地得出當(8)的一次近似系統(14)為常系數系統或周期系數系統時，關於(8)的零解為漸近穩定的定理（見線性常微分方程）。

　　李亞普諾夫同時還證明，如果(8)的一次近似系統(14)不是正則系統，即s＋μ＝-σ＜0，而(14) 的所有特征數λk＞σ，其他條件仍如定理所述，則(8)的零解是漸近穩定的。

　　李亞普諾夫第一方法依賴於一次近似系統的特征數的研究。特征數在變系數線性方程組中的地位，猶如特征根在常系數線性方程組中的地位那樣重要。這些數表征出當t→+

時解的增長程度，故它在研究解的漸近性態時，有其根本意義。但是決定變系數線性方程組解的特征數是很困難的。線性方程組的微小變化是否也隻引起特征數的微小變化？И.Γ.馬爾金於1952年提出線性方程組的特征數穩定的概念，並建立瞭判定線性方程組的特征數穩定的若幹準則。Б.Ф.貝洛夫等人，不僅對擾動是線性項的系統，而且對擾動是非線性項的系統的最大（小）特征數的上（下）穩定問題和特征數的重合問題，作瞭深入的研究。至今，特征數理論已經向多方面發展。

　　以一次近似判定非線性系統的穩定性問題，除上述李亞普諾夫工作外，Ο.佩隆、К.∏.佩爾西德斯基、馬爾金和R.貝爾曼等人都做過大量的研究。值得指出的是，佩隆舉例說明，對於滿足上述條件的任意φs，僅由一次近似方程組(14)的零解漸近穩定性，還不足以保證非線性方程組(8)的零解的穩定性。

　　李亞普諾夫直接法　即李亞普諾夫第二方法，它不需要尋求運動方程的特殊解。把未受擾動的運動的穩定性歸結為平衡位置（即(5)的平凡解xi=0(i=1，2，…，n)的穩定性問題後，李亞普諾夫將穩定或者不穩定的事實與某些具有特殊性質的函數V(x1，x2，…，xn)的存在性聯系起來。這個函數沿著軌線對時間t的全導數具有某些確定的性質。例如，方程 　

(15)

等價於

(16)

作系統的總能量函數

(17)

它沿(16)的軌線關於 t的全導數 故知(16)的平凡解是穩定的。

　　又如對方程組

　　 (18)

作函數

(19)

則

(20)

且

(c是任意正常數)。

因此 即

故知(18)的平凡解是漸近穩定的。(20)說明瞭封閉曲線族 x 2+ y 2= C沿著(18)的相軌線按 t的增加方向不斷地收縮，直至收縮到原點。換句話說，(18)的相軌線隨著 t的增加由外向裡地穿過每一條閉曲線 V( x， y)= C，最終趨於原點。這裡，函數(19)表示瞭在相平面上由(18)所描述的運動質點與原點之間的距離平方。因此 (當 x 2+ y 2≠0)就表示瞭這個距離隨著時間的增長在不斷地減小，並最終趨於零。前面的函數(17)亦具有與(19)同樣的性質。

　　從上述兩例可以看出：研究由常微分方程組來描述的動力系統的穩定性時，可以不必去求它的特解與通解，而是構造一類具有特殊性質的函數V(x，y)，由這個函數來控制相軌線的動向，來解決未被擾動運動的穩定性問題。稱這種類型的函數V為李亞普諾夫函數。它有各種構造方法，一般要結合實際的物理背景來作。

　　通常總假定函數V在坐標原點鄰域內連續單值，V(0，0，…，0)=0，且有連續的偏導數。稱函數V(x1，x2，…，xn)為定號的（正定的或負定的），如果當│xs│≤h（h是足夠小的正數，s=1，2，…，n）時，它隻能取具有固定符號的值，且隻在xs=0(s=1，2，…，n)時，取零值。稱V(x1，x2，…，xn) 為常號的（正的或負的），如果它在區域|xs|≤h(s=1，2，…，n)內隻能取具有一定符號的值，但它可以在

時取零值。稱 V( x 1， x 2，…， x n)為變號的，如果它既不是定號的，也不是常號的，亦即，無論數 h多麼小，它在區域內既可取到正值，也可取到負值。通常取二次型作為李亞普諾夫函數，這是用得最廣泛的一種。

　　下面介紹李亞普諾夫關於穩定性的幾個定理。

　　考慮自治系統（或稱駐定系統，即方程右邊與t無關的系統）

(21)

假定函數 X s( x 1， x 2，…， x n)在區域│ x s|≤ h( s=1，2，…， n)內連續，且使得方程(21)過區域內的任一點( x 10， x 20，…， x n 0)有且隻有一個解， X s(0，0，…，0)=0( s=1，2，…， n)，則有：

　　定理1　如果可以找到一個定號函數V(x1，x2，…，xn)，它關於時間t的由(21)構成的全導數

是常號函數，且其正負號與 V相反或者恒等於零，則(21)的未被擾動運動 x s=0( s=1，2，…， n)是穩定的。

　　定理2　如果可以找到定號函數V(x1，x2，…，xn)，它對於時間t由(21)構成的全導數也是定號的，但是其正負號與V的正負號相反，則(21)的未被擾動運動xs=0(s=1，2，…，n)是漸近穩定的。

　　定理3　如果可以找到函數V(x1，x2，…，xn)，它對於時間t由(21)構成的全導數是定號函數，而函數V本身卻不是與

的符號相反的常號函數，則(21)的未被擾動運動 x s=0( s=1，2，…， n)是不穩定的。

　　定理4 如果存在函數V(x1，x2，…，xn)，它對於時間t由(21)構成的全導數為

其中λ>0是常數，而 W( x 1， x 2，…， x n)或者恒等於零，或者是常號函數，並且在後一種情形， V不是與 W的符號相反的常號函數，則(21)的未被擾動運動 x s=0( s=1，2，…， n)是不穩定的。

　　在定理3中，要求導數

是定號的這個條件可以削弱，如果代之以 在 V＞0的區域內的所有點上都取正值，則定理的結論仍然是正確的。首先指出這一點的是H.Γ.切塔耶夫。他得到如下定理：如果對於(21)可以找到如此的函數 V( x 1， x 2，…， x n)，使得：①在坐標原點任意小的鄰域存在 V＞0的區域，在它的邊界上 V=0；②在區域 V＞0的所有點上， 取正值。則（21）的未被擾動運動是 x s=0( s=1，2，…， n)不穩定的。

　　E.A.巴爾巴申和H.H.克拉索夫斯基給出瞭關於漸近穩定性定理的改進，其特點是借助於有常號導數的李亞普諾夫函數來解決漸近穩定性問題，且將其推廣到全空間，得到如下的定理：如果對於方程組(21)存在正定函數V(x1，x2，…，xn)，使得

且使 的集合中除原點外不包含整條正半軌線，那麼(21)的未被擾動運動 x s=0( s=1，2，…， n)是漸近穩定的。

　　對於非駐定系統，李亞普諾夫類似地建立瞭判斷未被擾動運動穩定、漸近穩定和不穩定的定理。

　　運用上面的定理，李亞普諾夫還研究瞭一次近似為常系數的非線性系統的零解的穩定性問題。特別是對於特征方程中有一個零根或兩個零根或一對共軛純虛根、而其他根都具有負實部這三種臨界情形都作瞭仔細分析；對於一次近似是周期系數的情形，他分析瞭特征方程中有一個根等於1和有兩個共軛虛根具有模等於1的情形。

　　前面已指出：李亞普諾夫意義下的穩定性質是局部性的概念，但處理局部問題的李亞普諾夫函數的思想方法，完全可推廣到全相空間。事實上，在50年代初，人們對自動調節系統的研究中所遇到的盧裡耶問題以及奧澤爾曼問題就出現過初始擾動任意大的情形，從而很自然地要去研究未被擾動運動的全局漸近穩定性問題。此時(21)的右端函數是在全空間Rη上滿足保證解的存在惟一性條件。不妨設xs=0(s=1，2，…，n)是(21)的惟一奇點。如果(21)的零解是穩定的，並且對於(21)的所有解，都有

則稱(21)的零解是全局漸近穩定的。

　　巴爾巴申和克拉索夫斯基引進無限大函數的概念，即：如果函數V(x1，x2，…，xn)對任何大的數K＞0，都存在數R＞0，使得隻要

就有| V( x 1， x 2，…， x n)|> K，則稱函數 V具有無限大性。他們很自然地把李亞普諾夫的局部漸近穩定性定理推廣到全空間，得到下述定理：①如果存在定號無限大函數 V( x 1， x 2，…， x n)，它關於 t的由方程組(21)構成的全導數

是與 V符號相反的定號函數，則(21)的零解是全局漸近穩定的。②如果存在定號無限大函數 V( x 1， x 2，…， x n)，它關於 t的由方程組(21)構成的全導數是與 V符號相反的常號函數，且集合

中除瞭零解外不含有方程組(21)的任何正半軌線，則方程組(21)的零解是全局漸近穩定的。這兩個定理為全局漸近穩定性理論奠定瞭基礎。

　　J.P.拉薩爾更聯系解的ω極限集（見拓撲動力系統）建立瞭不變性原理：設G為Rn中列緊集，從G出發的方程組(21)的軌線，在未來時刻仍保留在集G中；如果在G內存在函數V（x1，x2，…，xn），使

記

又 M是 E中的最大不變集，則由 G內出發的(21)的每一條軌線當 t→+ 時必趨向於 M。顯然，如果 G＝ R n， M＝{(0，0，…，0}，且(21)的一切解均有界，則(21)的零解是全局漸近穩定的。

　　自動調節系統的穩定性在現代工業中的作用是眾所周知的。調節系統分直接調節系統和間接調節系統兩大類。它們的數學模型分別是

　(22)

或

　　　 　(23)

式中α s j、 b s、с s( s， j=1，2，…， n)是常數，又f(σ)滿足

(24)

如果對任何滿足(24)的f(σ)，方程組(22)的零解 x 1= x 2=…= x n=0（或(23)的零解 x 1= x 2=…= x n=ζ=0）是全局漸近穩定的，則稱方程組（22）（或方程組(23)）在角(0， )內是絕對穩定的。判定絕對穩定的主要途徑是選取正定無限大函數，給出條件保證其全導數是負定的。

　　除瞭上述一些類型的穩定性外，還有如李亞普諾夫研究過的有關部分變元的穩定性。馬爾金研究過的經常擾動下的穩定性。拉薩爾、S.萊夫謝茨指出的實際穩定性，以及目前蓬勃發展的大系統穩定性，還有與動力系統有密切聯系的軌道穩定與結構穩定性等等。

　　隨著科學技術的迅速發展，李亞普諾夫創立的運動穩定性理論，不僅在力學、控制、工程及星際航行等科學尖端技術領域有其廣泛深刻的應用，而且在現代物理、生物、化學等自然科學中得到瞭進一步的發展，同時它亦逐漸發展成為常微分方程學科本身許多課題理論研究的有力工具。李亞普諾夫穩定性理論中的一個核心問題，就是李亞普諾夫函數的構造問題。30多年來人們作瞭不少的努力，但對於一般非線性系統，還沒有得到通用而有效的構造方法。雖然如此，針對實際問題中出現的各種非線性系統，通過定性分析並根據實際情況進行具體分析，從而構造出恰當的李亞普諾夫函數，還是取得瞭豐富的成果。