超越數論

　　以超越數為研究物件的數論分支之一。全體複數可分為兩大類：代數數和超越數。如一個複數是某個係數不全為零的整係數多項式的根，則稱此複數為代數數。不是代數數的複數，叫做超越數。J.劉維爾開創瞭對超越數的研究，他發現無理代數數的有理數逼近的精密性有一個限度，借此他於1844年構造出歷史上第一批超越數，例如

對 >g=2，3，…都是超越數。早在1844年以前的一個世紀裡，對無理數的研究已成為一個註意焦點。1744年，L.歐拉證明瞭自然對數的底e是無理數。1761年，J.H.朗伯證明瞭圓周率π是無理數。

　　1873年，C.埃爾米特證明瞭e是超越數，從而使超越數論進入一個新階段。1882年，F.von林德曼推廣瞭埃爾米特的方法，證明瞭π是超越數，從而解決瞭古希臘的“化圓為方”問題。

　　19世紀超越數論的最高成就，是林德曼-外爾施特拉斯定理：如果α₁，α₂，…，α_n是兩兩不同的代數數，β₁，β₂，…，β_n是非零代數數，則

　　　(1)

由此可以導出，如果α ₁，α ₂，…，α _n在無理數域 Q上線性無關，則 代數無關（即它們不適合任一其系數為有理數的多項式方程）。由(1)可知，如α是非零代數數，則sinα，cosα，tanα都是超越數；如α是不等於0和1的代數數，則自然對數lnα是超越數。

　　1900年，D.希爾伯特提出的23個問題中的第7問題是：如果α是不等於0和1的代數數，β是無理代數數，那麼αβ是否超越數？D.希爾伯特曾預言，這個問題的解決將遲於黎曼猜想和費馬大定理。A.O.蓋爾豐德於1929年證明瞭：若α是不等於零和1的代數數，β是二次復代數數，則α^β是超越數，特別地，

是超越數。P.O.庫茲明於1930年把這個結果推廣到 β是二次實代數數的情形，特別地， 是超越數。1934年，A.O.蓋爾豐德和T.施奈德獨立地對希爾伯特第7問題作出瞭肯定回答，此即所謂蓋爾豐德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理數，則常用對數lgα不是有理數，便是超越數；更一般地，對非零代數數α ₁，α ₂， β ₁， β ₂，若lnα ₁，lnα ₂在 Q上線性無關，則

　　1966年A.貝克把這個結果推廣到任意多個對數的情形，證明瞭下述重要結果：若α₁，α₂，…，α_n是非零代數數，且lnα₁，…，lnα_n在Q上線性無關，則1，lnα₁，…，lnα_n在所有代數數所成的域Q上線性無關。其推論有：①若代數數的對數線性組合（其系數為代數數）不等於零，則必為超越數。②若α₁，α₂，…，α_n，β₀，β₁，…，β_n是非零代數數，則

是超越數。③若 α ₁，α ₂，…，α _n是不為0和1的代數數， β ₁， β ₂，…， β _n是代數數，且1， β ₁， β ₂，…， β _n在 Q上線性無關，則 是超越數。A.貝克的理論還有定量形式，對數論許多分支有著重要應用。例如，第一次對幾類很廣的不定方程給出解的絕對值的有效上界，以及用以定出所有類數為1和2的虛二次域。前者是對於希爾伯特第10問題的肯定方面的實質性的貢獻。1970年A.貝克獲費爾茲獎。

　　代數數的有理逼近是超越數論的重要課題（見丟番圖逼近）。由林德曼－外爾施特拉斯定理發展而成的西格爾-希德洛夫斯基理論，對於證明一類適合線性微分方程組的冪級數的值的代數無關性，建立瞭一般的方法。例如，令

\ n

若λ是異於負整數和 的有理數，則對於任何非零代數數α， K _λ(α)和 K懁(α)代數無關。

　　超越數的測度理論是超越數論的又一個重要內容。1874年，G.康托爾引進瞭可數性的概念，而導致瞭“幾乎所有”的實數（復數）都是超越數的結論。1965年，Β.Γ.普林茹克證明瞭K.馬勒爾在1932年提出的猜想：對於幾乎所有的實數θ、任意的正整數n和正數ε，至多有有限多個n次整系數多項式p(x)，使得

其中 h是 p( x)的諸系數的絕對值的最大值。

　　超越數論的最新發展使用著來自交換代數、代數幾何、多復變函數論、甚至上同調理論的方法，正處於活躍之時。許多著名問題，例如，沙魯爾猜測：若復數ζ₁，…，ζ_n在Q上線性無關，則由

在 Q上生成的域的超越次數至少為 n，及其特例關於e和π的代數無關性（甚或看來似乎容易得多的e＋π的超越性），以及歐拉常數 的超越性的猜測，至今都未解決。

　　

參考書目

　華羅庚著：《數論導引》，科學出版社，北京，1957。

　A.Baker，Transcendental Number Theory，Cambridge Univ.Press，1975.

　A.Baker and D.W.Masser，ed.，Transcendence Theory：Advances and Applications，Academic Press，New York，1977.