乘子

　　傅裏葉分析中通過傅裏葉係數乘上一個數列，或通過傅裏葉變換乘上一個函數來定義的一類運算元。

　　設P、Q是兩個具有某種特性的週期為2π的函數類，{λ_k}(k=0，±1，±2，…)是給定的複數列。如果對P中任意函數f(x)的傅裏葉係數с_k：：

乘以λ _k所得到的數列{λ _kс _k}必定是 Q中某函數 g( x)的傅裡葉系數，即數列{λ _k}確定瞭一個從f∈ P映到 g∈ Q的算子 T： Tf= g，就稱 T為( P， Q)乘子，有時也直接稱{λ _k}是( P， Q)乘子，其中 P， Q可以是有界函數類 B，連續函數類 C， p次冪為勒貝格可積的函數類 L ^p，等等。

　　數列{λ_k}應該滿足什麼條件，才是(P，Q)乘子呢?研究這類問題的定理稱為乘子定理。波蘭數學傢J.馬欽凱維奇在1939年提出瞭下列著名定理.

　　馬欽凱維奇乘子定理　設{λ_k}滿足條件

式中 M是常數，則{λ _k}是( L ^p， L ^p)乘子( p＞1)，這裡 L ^p表示周期為2π的 p次冪可積函數類.

　　對非周期函數可以類似地定義乘子。設m（x）是給定在n維歐氏空間Rⁿ上的一個有界可測函數，如果對於L²∩L^p中任意函數f(x)的傅裡葉變換􀀩(y)，乘積m(y)·􀀩(y)必定是L^p(Rⁿ)中某個函數g(x)的傅裡葉變換，並且存在常數M，使得

式中

也就是說，對一切f∈ L ²∩ L ^p，由等式

所確定的算子 T是 L ^p上的有界算子： 就稱 T為對應於 m( x)的 L ^p乘子算子，或簡稱 L ^p乘子，有時也直接稱 m( x)是一個 L ^p乘子。1956年蘇聯數學傢C.Γ.米赫林證明瞭下面的定理。

　　米赫林乘子定理　設m(x)在Rⁿ中除原點外是k階連續可微的，其中k為大於n/2的整數，還假設m(x)的所有階數不超過k的偏導數滿足條件

式中α=(α ₁，α ₂，…，α _n)，α _i是非負整數，│α│=α ₁+α ₂+…+α _n≤ k，則 m( x)是 L ^p乘子( p＞1)。

　　乘子算子的特點是它同平移算子可交換。平移算子τ_h的定義為(τ_hf)(x)=f(x-h)，這裡h是Rⁿ中一個向量。L^p上的有界線性算子T是乘子算子的充分必要條件為它與平移算子可交換，即對任意h∈Rⁿ，有Tτ_h=τ_hT成立。

　　如果不通過傅裡葉變換直接來表示乘子算子，那麼在一定意義上說，乘子算子實際上就是卷積算子Tf=f*φ，其中*表示卷積運算。

　　設f(x)是多元函數，在研究f(x)的多重傅裡葉級數的各種形式的部分和（方形和，矩形和，球形和）是否依L^p范數收斂到f(x)時，遇到下述類型的乘子問題：設m(x)是某個可測集D的特征函數ⅹ_D(x)，

問 D具有什麼樣的幾何形狀時，ⅹ _D( x)是 L ^p乘子？這個敘述起來十分簡單的問題，實際上卻異常復雜。以二維的情形為例，如果 D是半平面，或多邊形時，ⅹ _D( x)是 L ^p乘子( p＞1)；但當 D是單位圓時，問題就復雜得多瞭。一般地說，若 D是 n維空間的單位球，對應於ⅹ _D( x)的算子 T是否為乘子算子的問題，被稱為圓盤問題。它曾在長時期內沒能解決。容易推知，對於區間 以外的 p， T不是 L ^p上的有界算子。因此，曾有一個所謂“圓盤猜想”，猜想：對於滿足 的一切 p， T是 L ^p上的有界算子。為瞭研究此問題，美國數學傢E.M.施坦與C.費弗曼先研究稍簡單一些的博赫納-裡斯球形和算子 T _δ：

式中

它和單位球的特征函數的差別在於它在 ｜ x｜=1處具有一定的光滑性。他們推測對：一切δ>0，當

時， T _δ是 L ^p上的有界算子。1970年費弗曼證明瞭當 時，這個推測成立。然而，圓盤猜測卻在1971年被費弗曼否定瞭。他通過構造反例說明：當空間維數 n＞1時， T隻能是 L ²上的有界算子，若 p≠2， T不可能在 L ^p上有界。由此可見，乘子算子的復雜性。

　　泛函分析，微分方程中的許多算子都是乘子算子。因此，乘子定理在傅裡葉分析，泛函分析，微分方程，位勢理論以及數學物理中有廣泛的應用。

　　

參考書目

　J.Marcinkiewicz，Sur les Multiplicateurs des Séries de Fourier，Studia MatheMatica，T.8，pp.78～91，Warsaw，1939.