抽象逼近

　　在抽象空間中研究逼近論問題。設E是度量空間，ρ是E上的距離，對於確定的元x∈E和集G⊂E，量

為 x與 G的距離，它自然標志著 G對 x的逼近程度，稱為 G對 x的最佳逼近值；使等式 ρ( x， y ₀)= E _G( x)成立的元 y ₀∈ G稱為 x在 G中的最佳逼近元。對最佳逼近值 E _G( x)的估計一般僅限於具體的 E和 G。抽象逼近主要研究下面三個問題：①最佳逼近元 y ₀的存在性；②惟一性；③刻畫最佳逼近元的特征。以上說的是集 G對元 x的逼近，有時給出一族被逼近元 F=｛ x｝，那麼量

就成瞭標志逼近狀態的特征量，稱 E _G( F)為集 G對集 F的最佳逼近值。有時需要在 E的某子集族

中挑選最好的 G _α，也即找出 G _{α 0}∈τ使

　　作為逼近集G，有時為E的線性子空間，這時的逼近稱為線性逼近；有時為E的凸子集，則稱為凸逼近。常見的凸逼近有：有界限逼近，系數有界限的多項式逼近，具有插值約束的逼近，共正逼近，共單調逼近等。

　　泛函分析是抽象逼近研究的主要工具。例如，若E為線性賦范空間，G是E的線性子空間，那麼下述命題（哈恩—巴拿赫定理的推論）可用於導出最佳逼近估計和刻畫最佳逼近元的特征：設x∈E\G，那麼①

式中 B _E*為 E的共軛空間 E ^*中的單位球；② y ₀∈ G適合‖ y ₀- x‖= E _G( x) 當且僅當存在 f∈ E 使得 ‖f‖=1，f( y)=0（對所有 y∈ G），f( x- y ₀)=‖ x- y ₀‖。