A_p權

　　保證某些運算元在加權勒貝格空間L^p有界的權函數。設T是L^p(Rⁿ)到L^p(Rⁿ)的有界算子，即對任意f∈L^p(Rⁿ)，有

式中C與f無關，積分中的dx為勒貝格測度。設ω(x)≥0是定義在Rⁿ上的局部可積函數。問題是ω(x)滿足什麼樣的條件，可保證算子T是L^p(Rⁿ，ω(x)dx)到L^p(Rⁿ，ω(x)dx)的有界算子，即對任意f∈L^p(Rⁿ，ω(x)dx)，有

式中 C與 f無關。1972年B.穆肯霍普特提出瞭下面的 A _p條件。所謂 ω( x)滿足 A _p條件(1<p<∞)是指存在常數 C，使不等式

(1)

對 R ⁿ中所有的方塊 Q成立。這條件的意思是 ω在 Q的平均值與 在 Q的平均值的p-1次冪的乘積是有界的。對p=1，所謂 ω( x)滿足 A ₁條件，是指不等式

對 R ⁿ中的所有方塊 Q成立，式中 C與 Q無關。這意思是 ω( x)在 Q的平均值可以被 ω( x)在 Q的本性下界控制。這是等式(1)的極限情形。

　　 最後，所謂ω(x)滿足A_∞條件，是指存在常數C與δ>0，使得對Rⁿ中的任意方塊Q以及Q中的任意勒貝格可測集E，有

，

式中｜ E｜表示 E的勒貝格測度。這條件的意思是指用 ω( x) d x定義的測度，與勒貝格測度在某種意義下是可比較的。如果 ω( x)滿足 A _p條件，就說 ω( x)是一個 A _p權。全體 A _p權構成的函數集合也用 A _p表示。1972年，穆肯霍普特首先證明瞭，若 T是哈代-李特爾伍德極大函數 M，即

，

則M(f)是L^p(Rⁿ，ω(x)dx)到L^p(Rⁿ，ω(x)dx)的有界算子的充分必要條件是ω是A_p權(1<p<∞)。後來，R.A.亨特、穆肯霍普特、R.L.惠登、R.R.科伊夫曼與C.費弗曼等人證明瞭，一般的考爾德倫-贊格蒙奇異積分算子是L^p(Rⁿ，ω(x)dx)到L^p(Rⁿ，ω(x)dx)，有界算子的充分必要條件也是ω為A_p權(1<p<∞)。

　　上述結果對p=1與p=∞並不成立，但A₁、A_∞在有關理論中也是兩類十分重要的權函數。它們與A_p有密切的關系。粗略地說就是，A₁是全體A_p的公共部分，而A_∞是包含全體A_p的最小集合。用符號寫出來就是

　P.瓊斯於1980年證明瞭 A _p權的分解定理。這就是，設1<p<∞，則 ω∈ A _p的充分必要條件是 ，其中 ω ₁， ω ₂∈ A ₁。這就有可能把對 A _p問題的討論歸結為 A ₁。

　　A_p權與哈代-李特爾伍德極大函數，BMO空間等有密切聯系。例如，設f是任意的局部可積函數，M(f)是它的哈代－李特爾伍德極大函數，0<δ<1，則(M(f))^δ∈A₁。又如，設b是Rⁿ的局部可積函數，則b∈BMO的充分必要條件是存在ε>0，使得e^εb∈A₂。

　　A_p權具有一個很重要的性質，即它滿足反向赫爾德不等式：若ω∈A_p，1≤p<∞，則存在δ>0與常數C，使得

對 R ⁿ中的所有方塊 Q成立。這一性質在近代偏微分方程理論中有重要的應用。

　　A_p權是近代調和分析的一個重要工具。

　　

參考書目

　B.Muckenhoupt，Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal function，(Trans.Amer.math.Soc.Vol.165，pp.207～226，1972.

　R.R.Coifman and C.feferman，Weighted Norm Inequalities for Maximal functions and Singular Integrals，Studia Math.，Vol.51，pp.241～250，1974.