討論一列隨機過程的概率分佈和樣本函數極限性質的一類定理。在實值隨機過程樣本函數所構成的函數空間(簡稱樣本空間)上,依不同情況引進函數間的距離,使它成為度量空間,隨機過程序列xn={xn(t),t∈<T},n=1,2,…,在此樣本空間上導出的概率分佈序列記為{pn}。將分佈函數序列{Fn}的弱收斂概念加以推廣,可以研究序列{pn}的弱收斂問題,也可以研究過程樣本函數列以概率1收斂的問題,後者有時也稱為強收斂問題。
概率測度弱收斂 用 ε表示度量空間E上的波萊爾域,即由E中的開集全體生成的σ域。設pn(n=1,2,…),p為可測度量空間(E,ε)上的概率測度,若對ε中的任一集合A,隻要其邊界∂A的p測度p(∂A)為零,就有
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唐斯克不變原理 1946年P.愛爾特希和M.卡茨在討論獨立同分佈隨機變量序列{ξn}的部分和
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xn={xn(t),0≤t≤1}(n=1,2,…),
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普羅霍羅夫定理 隨機過程弱收斂的基本問題是尋求度量空間上概率測度列pn弱收斂到概率測度p的充分必要條件。ю.Β.普羅霍羅夫和A.B.斯科羅霍德分別就C[0,1]和D[0,1]這兩個具體的度量空間得到瞭下列充分必要條件:
①pn的有限維分佈弱收斂到p對應的有限維分佈。
② {pn,n≥1}是相對緊的,即它的每一個子序列都含有弱收斂的子序列。
這樣,如何驗證概率測度族的相對緊性就成為驗證概率測度列弱收斂的關鍵,這方面的重要結果是1956年普羅霍羅夫證明的下列定理:可分完備度量空間E上以A為指標集的概率測度族∏={pα,α∈A}是相對緊的充分必要條件為Π是胎緊的,即對任給ε>0,存在空間E的緊子集K,使得pα(K)>1-ε對一切α∈A成立。由此,可利用函數論的有關結果給出空間C[0,1]和D[0,1]上概率測度列{pn,n≥1}弱收斂的各種具體條件。
強不變原理 仍考慮由同一概率空間上獨立同分佈的隨機變量序列{ξn,n≥1}所引出的上述隨機過程列xn,n=1,2,…。為簡單計,假定Eξn=0,varξn=1。用K表示C[0,1]中滿足如下性質的絕對連續函f(t)的全體:
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隨機過程的極限定理可以看作是概率論中的經典極限定理在函數空間中的推廣,所得到的結果是很深刻的,從弱大數律(見大數律)到中心極限定理是一種精確化,而弱不變原理又把精確化瞭的中心極限定理推廣到隨機過程序列的情形。從強大數律到重對數律也是一種精確化,而強不變原理起到瞭類似的作用。
參考書目
P.比林施勒著,戴永隆、鐘洵譯,《概率測度的收斂性》,上海科學技術出版社,上海。(P.Billingsley,Convergence of Probability Measure,John Wiley &Sons,New York,1968.)
V.Strassen,An lnvariance Principle for the Law of the lterated Lograithm,Z.Wahrscheinlichkeits Theorie und Verw.Gebiete,3,pp.211~226,1964.