又稱群上傅裏葉分析、抽象調和分析。它是古典調和分析(即傅裏葉級數與傅裏葉積分理論)的統一與推廣。它的研究物件是拓撲群上的函數或測度以及由它們構成的空間或代數。
概論 在古典調和分析中，為瞭研究一個實變數的函數（即實軸群R上的函數）或週期函數（即圓周群T上的函數），傅裏葉提倡的方法是將此函數
或
展開。這就要先求出
f的傅裡葉變換(
t)，
t∈
R或傅裡葉系數
，式中
，
， (1)
然後用下述積分或級數還原出
f，
。 (2)
這個方法就稱為傅裡葉分析方法，它的實質是通過對傅裡葉變換進行討論以達到對函數自身的瞭解。
古典調和分析的兩個方面(即級數部分與積分部分)無論就結果與方法而言都十分相似。此外，還發現沃爾什級數與傅裡葉級數相似，梅林變換與傅裡葉變換相似。這些相似使人們容易想到它們之間或許存在某種本質上相同的東西。把式(1)中兩式合並寫成
， (1)′
式中
G分別表示
R與
T，
Ĝ分別表示
R與Z（整數群），
t(
x)分別表示
，
d
μ(
x)兩種情況下都表示勒貝格測度
d
x。可以發現兩種情況下
G都是群;
Ĝ是由
G決定的另一個群；
t(
x)是復值函數，它的值域在復平面的單位圓周上，並且滿足乘性關系：
t(
x·
y)=
t(
x)
t(
y)（式中·表示群的運算）；而
d
μ(
x)是群
G上一個有特殊地位的測度。除瞭傅裡葉系數與變換可以這樣統一以外，沃爾什系數與梅林變換也能用上述式(1)′表示。對前者隻需令
G＝[0，1]，並在
G中定義一個按位模2加法使之成為二進群
D；
Ĝ＝
Z
+；
(式中{
ψ
n(
x)}是沃爾什函數系，按佩利次序排列);
d
μ就是勒貝格測度。對後者隻需令
G＝
R
+（正實數的乘法群）；
Ĝ＝
R；
。
不僅如此，這樣用群論觀點看待沃爾什級數與梅林變換還給他們的研究帶來瞭極大的方便。這些事實使人自然想到，調和分析的合適對象可以是更一般群上的函數。這正是群上調和分析這一學科誕生的動力。要在群上運用傅裡葉分析方法，首先就要能在群上定義傅裡葉變換。由式(1)′可知，這至少要求在如下三個問題中作奠基工作：①拓撲群上如何定義積分，特別是有沒有一個測度能起到古典情形下勒貝格測度那樣的特殊作用？②對給定的
G，合適的
Ĝ是什麼？③對給定的
G能不能找出合適的"積木結構"
(式(2)說明
能復合出許多函數，象積木能復合出許多建築物一樣)？20世紀20年代中期，
（C.H.）H.外爾先對某些特殊緊李群，然後與F.彼得合作對一般緊李群得到瞭上述幾個問題的滿意回答，建立瞭著名的外爾-彼得定理，從而奠定瞭緊群上調和分析的基礎。其後不久，A.哈爾對滿足某些條件的局部緊群證明瞭第一個問題中的特殊測度（通稱哈爾測度）的存在性。
A.韋伊在其後的幾年，對局部緊群上的哈爾測度及局部緊交換群上的調和分析進行瞭一系列的奠基研究，並於1940年發表名著《拓撲群上的積分及其應用》，從而宣告瞭這一學科的誕生。除此以外以
И.М.蓋爾范德為首的蘇聯學派對群上調和分析的形成與發展也作瞭十分關鍵的貢獻。由於對既不是交換也不是緊的一般拓撲群，上述第二、三兩個問題甚至都不能說已經有瞭令人滿意的答案，因此這方面的調和分析仍處於待發展階段。但若對群附加別的限制條件，如李群結構，則此時的
Ĝ與
有比較滿意的選擇，並且在某些特殊情形下，它們還能被具體地寫出來。這樣，古典調和分析中的某些定量結果也能推廣到這種情形。
群論觀點進入調和分析除瞭有上述統一與推廣的意義外，還使某些看起來彼此不相關的現象間的內在聯系被揭示得更清楚，這使得調和分析內部各分支之間以及調和分析與其他學科例如泛函分析、代數學、群表示論、模形式等的聯系變得更為密切。因此，群上調和分析可以說是一門既具應用價值（正如它對概率論、數論與微分方程等所起的作用所說明的）又具理論意義的綜合性學科。
局部緊T2群 一個既有群結構（其群運算用乘法表示）又有拓撲結構，並且兩者有某種聯系的集合稱為一個拓撲群。當它的拓撲結構是局部緊的並且滿足T2分離性時就稱為局部緊T2群。群上調和分析主要隻考慮這樣的群。
哈爾測度 局部緊群G上的在左(右)平移作用下不變的非負(不恒為0)正規波萊爾測度稱為G的左(右)哈爾測度。所謂“平移作用下的不變測度”的含意可以有兩種等價理解。設μ是G上一個測度。對每個α∈G都可定義G上的一個左平移x→αx，∀x∈G，相應地每個μ可測集E被平移為αE。如果所有αE都是μ可測的，且αE與E的μ測度相等，則稱μ是左平移不變的。另一種理解基於測度的下述等價定義，即測度μ是K(G)（G上所有有緊支集的連續函數的全體）上的線性泛函，或稱K(G)上的積分，記為
。 (3)
對每個
α∈
G可以定義作用在
K(
G)上的左平移算子
。
如果
， (4)
那麼，
μ稱為左平移不變的。
哈爾測度對怎樣的G是存在且惟一的，這是一個困惑人們多年的難題。早在19世紀末與20世紀初，許多數學傢就對一些具體的群探討過這個問題。直到1933年，哈爾才在這個問題上邁出決定性的一步。他對任意有可列開基的局部緊群確立瞭哈爾測度的存在性。韋伊隨後用式(3)理解測度，從而對哈爾的結果作瞭整理與推廣，他對任意局部緊群確立瞭哈爾測度的存在性與（除一個常數倍數以外的）惟一性。此外，角谷靜夫與H.嘉當也在這個問題上作出過很重要的貢獻。
在交換群情形，左、右哈爾測度是一樣的，但在非交換情形卻不一樣瞭，它們由哈爾模函數相互聯系。任取一個左哈爾測度dx，則對任意
仍是
K(
G)上的一個左不變積分，故由惟一性知存在正數Δ(
α)，使
。 (5)
這個Δ(
α)是
G到正數乘法群
R
+內的一個連續同態，它稱為
G的哈爾模函數。Δ(
α)=1 的群稱為么模群。除交換群外，所有緊群都是么模群。對任意取定的左哈爾測度
d
x，通常的變量代換引出的兩個常見測度可通過模函數如下表示
。
這裡
d
x
-1可以證明是一個右哈爾測度。
當考慮G模某個子群(或正規子群)H所得的齊性空間（或商群）G/H時，其上的擬不變（或不變）測度可通過韋伊公式互相聯系，因此群上調和分析可服務於齊性空間上的調和分析。
對偶群、對偶對象 它是拓撲群的某種意義下的對偶，可以用來研究拓撲群的結構，也可以用來定義傅裡葉變換。
設G是交換的局部緊T2群，G到群T內的連續同態稱為一個（連續）特征。譬如群R與T的所有（連續）特征分別為
與
。設
Ĝ是
G的所有（連續）特征的集合，可以定義
Ĝ中的乘法為
，其中
，右邊是復數的普通乘法。還可以定義它的拓撲如下，對於所有ε>0與緊集
K，令
為
Ĝ的單位的基本鄰域組。可證，
Ĝ在這樣定義的群與拓撲結構下是一局部緊
T
2交換群，它就稱為
G的對偶群。可以證明在這樣定義的對偶群概念下，
，
分別與
R及Z拓撲同構。
對非交換的局部緊T2群G，定義Ĝ是G的所有連續不可約酉表示的等價類的全體，它在適當的拓撲下便稱為G的對偶對象。如G是緊群，則G的每個連續不可約酉表示U都是有限維的，即存在希爾伯特空間HU，dU=dimHU＜∞，使得U(x)對每個x∈G都是HU上的酉算子。此時Ĝ的合適拓撲是離散拓撲。
關於這個對偶概念，有一個重要的事實是對偶定理。對交換群的龐特裡亞金-范坎珀定理說，在如下的自然嵌入映射α下，
，
G與彁拓撲同構。這個定理說明，由
Ĝ可以決定
G，並且
G與
Ĝ的地位是平等的。對於非交換的緊群
G，也有一個類似的田中-克雷恩對偶定理。它說，
Ĝ也惟一地決定瞭
G，即可通過
Ĝ構造一個緊群與
G拓撲同構。
群代數、測度代數、傅裡葉代數、傅裡葉－斯蒂爾 傑斯代數 這些是群上調和分析最主要的研究對象。考慮一般局部緊T2群G。L1(G)是G上（左）哈爾可積函數的等價類的全體，在普通線性運算，范數
，卷積乘法*
，
以及對合運算～
下所成的巴拿赫對合代數。它，或者它的單位擴充，常稱為群
G的群代數。
M(G)是G上所有復值正規有界波萊爾測度的全體在普通線性運算、全變差范數
、卷積乘法*
以及對合運算～
，
下所成的巴拿赫對合代數，它就稱為
G的測度代數。
傅裡葉代數A(G)與傅裡葉－斯蒂爾傑斯代數B(G)在交換群時不是新概念。它們是
，
式中括弧外面的∧表示傅裡葉變換。當
G非交換時，它們卻是新概念。
B(
G)定義為
G上所有連續正定函數的集合
p(
G)線性生成的空間，在普通線性與乘法運算與適當拓撲下所成的一個巴拿赫代數。
A(
G)定義為
B(
G)∩
K(
G)在
B(
G)內的閉包。
A(
G)有一個非常著名的特例就是群
T上所有絕對收斂的傅裡葉級數所構成的代數
A(
T)即(
L
1(Z))∧。關於它，有一個著名的維納-萊維定理。對一般的
A(
G)與
B(
G)有一些類似的事實。
傅裡葉變換、傅裡葉－斯蒂爾傑斯變換 設G是交換群，Ĝ是它的對偶群，定義
， (6)
， (6)′
式中(
x，
t)是
t(
x)的對稱寫法，“─”表示復數共軛。它們稱為
f與
μ的傅裡葉變換，後者有時也稱為傅裡葉-斯蒂爾傑斯變換。當
G非交換時，下面以緊群為例，設
σ∈
Ĝ是任一表示等價類，
是任取的屬於
σ的一個表示，記
的表示空間為
H
σ，其維數為
d
σ，
是任取的一組標準正交基，〈·，·〉表內積，記
D是
H
σ內如下定義的共軛線性算子：
，則
稱為
的共軛表示。則可以定義傅裡葉變換為
。 (7)
這是一個算子值積分，它的意義是∀ξ，
η∈
H
σ有
。
這個定義中雖然有某些不確定的因素（如
與
D的選取），但傅裡葉變換的本質性質並不因此受影響。
傅裡葉變換有如下最基本事實（僅以交換群為例）。①μ→û是M(G)到B(Ĝ)上的，以及f→忟是L1(G)到A(Ĝ)上的巴拿赫對合代數同構，並且B(Ĝ)中的元素都是一致連續的函數，A(Ĝ)中的元素是無窮遠處趨於0的連續函數。後者稱為黎曼-勒貝格引理。此外“同構”蘊涵變換是一一的，即û≡0推出μ≡0。這是傅裡葉變換的惟一性定理。②對每個t∈Ĝ，μ→û(t)與f→忟(t)分別是代數M(G)與L1(G)的復同態，特別有
。
傅裡葉變換與卷積的這個關系是傅裡葉變換的重要性的主要來源。
也有用交換巴拿赫代數的蓋爾范德理論來定義交換群上的傅裡葉變換的。即f∈L1(G)的傅裡葉變換定義為f作為巴拿赫代數L1(G)的元素的蓋爾范德變換。這種定義與前述定義是一致的。
普朗歇爾定理、豪斯多夫－楊定理 普朗歇爾定理是交換群上調和分析中最重要而基本的定理，它說傅裡葉變換F是L2(G)到L2(Ĝ)上的一個等距同構算子。其確切敘述為：G與Ĝ上的哈爾測度可以規范化，使得原在L1(G)∩L2(G) 上定義的傅裡葉變換F 可以擴充為整個L2(G)到L2(Ĝ)上的一個等距同構(仍記為F)，並且它的逆算子正好是定義在L2(Ĝ)上的傅裡葉逆變換F-1：g→ğ，
。
普朗歇爾等式的等價形式是下述帕舍伐爾關系
(8)
它也可寫成對稱形式
。 (8)′
將上述指標2推廣到1≤p≤2，便得到豪斯多夫-楊定理：定義於
上的F可以連續地擴充為整個
L
p(
G)到
L悜(
Ĝ)內的有界算子，算子范數不大於1，其中
p′是
p的相伴數即滿足
。
此時的帕舍伐爾關系為
，
，
式中第二式說明F，
F
-1互為共軛算子。既然F與
F
-1無本質差別，故對F可進行對偶討論。
外爾－彼得定理 這是緊群上調和分析中最重要而基本的定理，它相當於對交換群的普朗歇爾定理。設G是緊群，dx是使G的測度為1的哈爾測度，σ∈Ĝ，
是屬於類
σ中的一個不可約酉表示，
H
σ是
的表示空間，
是
H
σ中一組標準正交基，函數
，
稱為
的表示函數。對於前面定義的
，其表示函數即為
。
外爾-彼得定理 設G是緊群，則
構成瞭
L
2(
G)的一個完備標準正交系，此即，
有
， (9)
式中右邊級數在
L
2(
G)中收斂，以及〈·，·〉表
L
2(
G)中的內積，
；
並且帕舍伐爾關系成立
。 (10)
式(9)，(10)可用傅裡葉變換來表示。如隻看式(9)，因為
故可得
。 (9)′
此外還可用傅裡葉變換的跡來表示式(10)，因為
故有
調和分析與群表示論 調和分析的最重要任務是把所在群G上的函數空間L2(G)進行直和(或連續型直和)分解，而這正是群G的一個非常重要的酉表示，即左正則表示
的不可約分解。用這種觀點看待古典調和分析雖然未免是小題大作，但對群上調和分析而言，這種觀點卻十分流行。以至有人認為調和分析就是用表示的分解來對函數空間進行分解的一種方法。以緊群為例來說明這種關系，符號沿用外爾-彼得定理中所述，記
與
生成的線性空間分別為
T
σ(
G)與
T
σ，
k(
G)，則因
，說明
T
σ，
k(
G)是
L的不變子空間。定義轉換算子
T為
則有
這說明
L在
T
σ，
k(
G)上的局限與
等價。故外爾－彼得定理的斷言
正與
L的不可約分解
對應。
參考書目
E.Hewitt and K.R.Ross，Abstract harmonic Analysis，Vol.1～2，Springer-Verlag，Berlin，1970.
Y.Katznelson，An Introduction to harmonic Analysis，Dover，New York，1970.
W.Rudin，Fourier Analysis on Groups，Interscien-ce，New York，1962.
G.Warner，harmonic Analysis on Semi-Simple Lie Groups，Vol，1～2，Springer-Verlag，Berlin，1972.