古典函數概念的推廣。關於廣義函數的研究構成瞭泛函分析中有著廣泛應用的一個重要分支。歷史上第一個廣義函數是由物理學傢 P.A.M.狄喇克引進的，他因為陳述量子力學中某些量的關係時需要引入瞭“函數”δ(x)：當x≠0時，δ(x)=0，但

。按20世紀前所形成的數學概念是無法理解這樣奇怪的函數的。然而物理學上一切點量，如點質量、點電荷、偶極子、瞬時打擊力、瞬時源等物理量用它來描述不僅方便、物理含義清楚，而且當它被當作普通函數參加運算，如對它進行微分和傅裡葉變換，將它參與微分方程求解等所得到的數學結論和物理結論是吻合的。這就迫使人們要為這類怪函數確立嚴格的數學基礎。最初理解的方式之一是把這種怪函數設想成直線上某種分佈所相應的“密度”函數。所以廣義函數又稱為分佈，廣義函數論又叫做分佈理論。用分佈的觀念為這些怪函數建立基礎雖然很直觀，但對於復雜情況就又顯得繁瑣而不很明確。後來隨著泛函分析的發展， L.施瓦爾茨(1945)用泛函分析觀點為廣義函數建立瞭一整套嚴格的理論，接著И.М.蓋爾范德對廣義函數論又作瞭重要發展。從此，廣義函數被廣泛地應用於數學、物理、力學以及分析數學的其他各個分支，例如微分方程、隨機過程、流形理論等等，它還被應用到群的表示理論，特別是它有力地促進瞭偏微分方程近30年來的發展。

　　在廣義函數理論的形成過程中有重要影響的有：J.（-S.）阿達馬(1932)在研究波動方程基本解時使用瞭發散積分的有限部分。С.Л.索伯列夫(1936)在研究雙曲型方程的柯西問題時用分部積分引入瞭廣義導數和微分方程廣義解的概念，並把函數δ及其導數δ′等視為某個函數空間上的線性泛函；他對廣義函數論的建立邁出瞭決定性的一步。S.博赫納(1932)和T.卡萊曼(1944)討論瞭冪增長函數的傅裡葉變換，提出瞭連續函數的形式導數概念。

　　當然為那些怪函數建立嚴格數學基礎的方法並不是惟一的，例如波蘭學者J.米庫辛斯基就曾用較初等的方法建立它們的基礎。也有把廣義函數看作解析函數的邊界值，並由此發展出超函數理論。換句話說，廣義函數的定義並不完全統一，而是具有一定程度的靈活性，可以根據問題的需要適當地定出相應的廣義函數類。

　　基本函數空間和廣義函數空間　泛函分析觀念下的廣義函數理論的核心是把廣義函數看成某個函數空間上的連續線性泛函，即先選取某些性質很好的函數組成的線性空間，再在其中給出適當的收斂概念，這樣的函數空間就稱為基本函數空間，又稱為測試函數空間，而其中每個函數稱為基本函數或測試函數。相應於基個基本空間上的連續線性泛函就稱為該基本空間上的廣義函數。廣義函數全體就稱為相應於基本空間的廣義函數空間。常用的基本空間有K空間和S空間。

　　基本函數空間K　設φ(x)是定義在n維歐幾裡得空間Rn上的復值函數，用Sφ表示集｛x｜φ(x)≠0}的閉包，稱為φ(x)的支集。對任意n個非負整數p1，p2，…，pn。記

， ，和

。

　　設K是Rn上無限次可微而且支集有界的復函數全體，K按通常函數的線性運算成為復線性空間。在K上引進極限概念如下：設{φn}⊂K，φ∈K，如果滿足①對於函數列{φn}存在有界區域Ω，使所有函數φn在Ω外為0，即S拻⊂Ω，②對每個

，函數列 D p( φ n- φ)一致收斂於0；則稱{ φ n}在 K中收斂於 φ，記為 φ n φ。賦予上述線性運算和極限運算的 K，作為基本函數空間，簡稱 K空間；其中的每個函數稱為基本函數。 K空間上收斂概念的嚴格敘述要用到拓撲線性空間的嚴格歸納極限概念。

　　K空間上的廣義函數　設f是定義在K空間上的復值函數，如果f(φ)是K上連續線性泛函，即滿足①(線性)對任意φ1，φ2∈K，復數

，②(連續性)對於基本函數列 φ n 0， f( φ n)→0；則稱 f為 K空間上的廣義函數，並把 f( φ)寫成＜ f， φ＞或形式地寫成 。 K空間上廣義函數全體記為 K′。 K′按通常線性運算也是一個線性空間。

　　K上廣義函數的例子　①設f(x)是Rn上的可測函數，如果在每個有界閉立方體上勒貝格可積，則稱為局部可積函數，其全體記為l*。在l*中幾乎處處相等的函數看作相同。對每個f∈l*，令

，

式中 d x是 R n上的勒貝格測度。上式確定的 T f是 K上的一個廣義函數。也就是說，普通的局部可積函數可以等同於 K上一個廣義函數，稱為正則廣義函數。

　　② 由下式定義的泛函

，是 K上廣義函數，通常形式地記δ為δ( x)。

　　③ 設μ是Rn中波萊爾可測集上的復值的可列可加集函數，並且在每個緊集上測度有限，由

· μ( d x)定義的 T μ是 K上的一個廣義函數。①，②中的廣義函數都是它的特例。

　　④ 單變量函數

在 R上不是局部可積的，令

（ P V表示柯西主值）。 是 R上的一個廣義函數。

　　K′上的拓撲　在K′上可如下引進序列收斂概念。設{Fn}⊂K′，F∈K′，如果對每個φ∈K有

，那麼稱{ F n}在 K′中收斂到 F，記為 。

　　廣義函數的支集　對於廣義函數一般說來在某一點的值是沒有意義的。例如不能講廣義函數F在x0點為0，但可以說廣義函數F在某鄰域（開集）U中為0，它的意思是，對每個支集在U中的基本函數φ，＜F，φ>=0，記為F｜U=0。並集 ∪｛U｜F｜U=0｝的餘集SF稱為廣義函數F的支集。一般地，例①中f(x)如果是連續函數，那麼它的支集和Tf的支集

是一致的。

　　K上廣義函數的導函數和原函數　當F是K空間上的廣義函數時，顯然

也是 K上的廣義函數，稱它是廣義函數 F對 x i的偏導數，記為 ，即

。

當 f( x)是 R n上普通的連續可微函數時， f作為廣義函數意義下的導數和 f的經典導數是一致的。可見廣義函數導數概念是普通導數概念的推廣。但從廣義函數導數的定義可以知道，對於每個廣義函數存在任意階的廣義導函數，並且可以交換廣義函數求導次序。另外廣義函數的求導運算和極限運算是可以交換的。上述性質表明廣義函數的出現解除瞭經典分析中對求導運算和對函數列的極限進行求導運算的種種限制。例如對於 R上亥維賽函數 θ( x)：當 x≥0時， θ( x)=1。當 x＜0時， θ( x)=0，它的廣義導數 ，而 。

　　廣義函數也可定義原函數或不定積分。設F是單實變量的K空間上廣義函數，如果廣義函數G滿足

，則稱 G為 F的原函數。對於每一個廣義函數F∈ K′，必存在原函數 G， F的一切原函數必然形如 G+с，其中с是常數。

　　K上廣義函數的構造　利用廣義函數的導數概念可以給出一類廣義函數的結構。下述定理表明K上每個廣義函數局部地是一個有界函數的導函數。

　　K空間上廣義函數的局部構造定理：設F∈K′，w是Rn中有界開集，則F在w上等於一個具有有界支集的連續函數的導函數。

　　特別，每一個具有有界支集的廣義函數F∈K′必能表示為

，其中 f p都是有有界支集的連續函數， r是某個自然數。更為特別的是，如果廣義函數 F的支集僅有一點 α，那麼 F能表示為 ，式中 α p為數，且 。

　　K上廣義函數的傅裡葉變換　設

。稱F： φ 愩為傅裡葉變換。記 愩=F( φ)。 K中函數的傅裡葉變換全體組成的線性空間記為 Z= F K。如果 ，則稱函數列{ 愩 n}在 Z中收斂於 愩，記為 。 Z空間上的連續線性泛函，稱為 Z空間上的廣義函數，其全體記為 Z′。又記 J∶ φ( x) φ(- x)。

　　設f∈K′，作Z上連續線性泛函F(f)

J F _ 1 ∈ Z，稱F( f)為廣義函數 f的傅裡葉變換，通常也記為床（或形式地寫成床( σ)）。傅裡葉變換把 K上的廣義函數映為 Z上的廣義函數。它的逆映射稱為傅裡葉逆變換。廣義函數的傅裡葉變換理論比經典傅裡葉分析提供瞭更為靈活和適應范圍更為廣闊的有力工具。

　　對一元廣義函數，常用的傅裡葉變換列表如下：

廣義函數

　　基本空間S和S上的廣義函數空間S′　設φ(x)是Rn上的無限次可微函數，如果對於任一自然數r和

…， P n)，滿足關系式 ，則稱 φ( x)在無窮遠處是急速下降的，其全體組成的復線性空間記為 S( R n)。 S中的函數序列{ φ m( x)}收斂於0是指對任意的 r和 p， 。同樣稱 S上的連續線性泛函 f為 S空間上的廣義函數，也稱為緩增廣義函數，其全體記為 S′。明顯地有 K⊂ S， S′⊂ K′。

　　考慮S空間上的廣義函數的好處是對於f∈S′，它的傅裡葉變換F(f)仍是屬於S′的緩增廣義函數，這就給討論帶來很大方便。因此在不少應用場合多采用S空間的廣義函數。

　　廣義函數的直積　又稱張量積。設x，y是Rn和Rm中的點，K(Rn)，K(Rm)分別表示其上K空間。f∈K′(Rn)，g∈K′(Rm)那麼存在一個且僅有一個Rn×Rm上的廣義函數，記為f圱g，它由下式定義：

　　

式中 ，並且對 φ( x∈ K( R n)，

，滿足 ，稱 R n× R m上的廣義函數 f圱 g為 f和 g的直接積。上面的定義可以看作富比尼定理的一個拓廣。

　　廣義函數的卷積　設f，g∈K′，其中至少有一個支集有界，則可定義K上廣義函數

，稱為 f和 g的卷積(定義卷積的條件在一些情況下還可放寬一點)。對 f∈ K′，

，

。

　　廣義函數和С∞類函數的乘積　設f∈K′，α∈

( 是 R n上無限次可微函數），則定義廣義函數 αf：

＜αf，φ＞=＜f，αφ＞(φ∈K)，

稱為 α和 f的乘積，並稱 α為 K′上乘子。當 f∈ l *時，它和通常函數乘積相一致。

　　記OM(Rn)為滿足下述條件的所有

組成的線性空間：對於每個 ，必存在多項式 P p( x)，使

　　稱OM為在無限遠點處緩增的無限次可微函數空間。OM是緩增廣義函數S′的乘子空間。

　　如果f∈S′，φ ∈OM，定義乘積φf為

那麼φ f仍屬於 S′。

　　但是一般地定義兩個廣義函數的乘積是困難的。例如兩個局部可積函數的乘積就不一定是局部可積的，於是就不一定能確定為廣義函數。

　　基本解　作為應用，廣義函數論特別是它的傅裡葉變換理論可有效的用來研究偏微分方程的求解問題。

　　設P(D)是Rn上常系數線性偏微分算子，如果能找到一個廣義函數f，使得P(D)f=δ，那麼稱f為P(D)的基本解或方程P(D)f=0的基本解。

　　如果f是P(D)的基本解，那麼對於一般的非齊次方程

P(D)u=μ，

它的解為 u= f* μ，這裡 μ∈ K′，且假定 f* μ是有意義的。事實上如 f* μ存在的話，則由卷積的性質知 P( D)( f* μ)= P( D) f* μ= δ* μ= μ。這樣，基本解就可以起到構造其他解的作用。也可以利用它來討論微分方程其他解的性質。下面是基本解的存在定理：設 P為一 n元多項式，那麼必存在常系數偏微分方程 P( D) f=δ的基本解 f∈ K′，而且這時可取 f，使得F( f)是解析泛函。

　　亥維賽函數θ(x)是

的基本解。

　　此外，還可以考慮柯西問題基本解的概念。例如，稱適合熱傳導方程

和初始條件 f( x，0)= δ( x)的解 E( x， t)為熱傳導方程柯西問題的基本解。容易求得

因此適合初始條件 f( x，0)= f 0( x)( f 0( x)也可以是廣義函數)的熱傳導方程的解為

。

　　對變系數偏微分方程的研究，廣義函數也同樣起著很重要的作用。