又稱孤立子波，是非線性波動方程的一類脈衝狀的行波解。它們的波形和速度在相互碰撞後仍能保持不變或者隻有微弱的變化。一個著名的例子是KdV(Korteweg-de Vries) 方程
的解
。方程解的圖形（見圖
）像一個孤立的脈沖，波峰高
2
α
2，速度為
4
α
2。當兩個這樣的脈沖波沿同一方向運動時，峰高的波速度快會趕上前面峰低的波而發生碰撞。1965年M.D.克魯斯卡爾和N.J.紮佈斯基在電子計算機上作數值試驗後，意外地發現兩個這樣的波在碰撞後，居然都能保持各自的波形和速度不變。這一性質使人聯想起粒子，因之將這樣的波稱為孤立子(波)。早在1934年，J.S.羅素已在河流中觀察到這種非線性波。現在人們已經發現很多在應用中十分重要的非線性波方程，如正弦-戈登方程(SG方程)
u
x
t=
sin
u，非線性薛定諤方程
等等都具有這種孤立子解。近年來，發現在等離子體光纖通信中都有孤立子現象，科學傢們還認為神經細胞軸突(axon)上傳導的沖動、木星上的紅斑等都可以看作是孤立子。孤立子反映瞭自然界中一類相當普遍的非線性現象。由於孤立子同時具有波和粒子兩重性質，引起瞭理論物理學傢的極大關註，他們嘗試用它來描寫基本粒子。但在應用中，上述的孤立子的定義，在各種不同意義上有所放寬。
為瞭求解這些具有孤立子解的特殊非線性方程，自1967年起發展瞭一種散射反演方法。該方法的特色是將這類非線性問題的解轉化為線性問題來求解，最初是C.S.伽德納等人於1967年首先對KdV方程提出的。他們發現KdV方程和常微分算子的特征值問題
有密切的關系。特別，若微分算子
中所含
u（稱為位勢）取為KdV方程的解時，算子的特征值
λ與時間
t無關。於是，求解KdV方程的初值問題可以轉化為求解上述特征值問題的正問題和反問題。其正問題是指已知初值
u(
x，0)=
f(
x)求出與算子
的特征值等相關的一組量。這一組量稱為散射量。其反問題是指已知
t時刻的散射量來復原位勢
u(
x，
t)。散射量本身隨時間
t的演化規律十分簡單，關鍵的步驟是求解反問題，而這一步歸結為求解一個線性積分方程。伽德納等人用這種方法成功地求出瞭KdV方程的單個孤立子解以及由
N個孤立子疊加起來的
N重孤立子解。1968年 P.D.拉克斯對伽德納等人的思想從泛函分析的角度作瞭十分清楚的表述，指出KdV方程可以寫成
l
t=[
A，
l]形式，其中[
A，
l]=
A
l-
l
A，
l和
A為與
u有關的線性常微分算子。由於它在孤立子理論中的重要作用，後人便將它稱作拉克斯方程，並將其
l和
A稱為拉克斯對。此後又有許多人考察瞭一類二階矩陣常微分算子的特征值問題，導出瞭與之相連的一族廣泛的非線性演化方程，並建立瞭與該特征值問題的反問題相關連的線性積分方程。自此以後，散射反演方法逐漸發展成一種求解非線性方程初值問題的系統方法，引起瞭數學界的廣泛重視。
除散射反演方法外，還有一種方法是利用貝克隆變換，這是一種將方程的一個解變至另一個解的變換。利用它常可從方程的平凡解(如u=0)出發，經簡單積分或代數運算導出方程的一系列特解。一個經典例子是Bα：u0→u1，這裡u1是由
，
確定的。隻要
u
0是SG方程的解，則由上式可解出
u
1，它也是SG方程的解。式中
α為自由參數。特別，取平凡解
u
0=0，可解得
，這是SG方程的一種孤立子解，稱之為扭，解中的正負號分別代表兩種相反的旋轉方向(正扭與反扭)。貝克隆變換的一個重要性質是它的可交換性
，其中
B
α表示參數為
α的貝克隆變換。由此性質可以導出解的非線性疊加公式：
，其中
，
，
。取
u
0=0時的
u
1，
u
2即為上述的“扭”孤立子解，代入上面的疊加公式就得SG方程的兩重孤立子解
令
α=
i
b，得
圖像為正扭與反扭周期地接近又離開，如一個鼻孔呼吸，故又稱“呼吸子”。應用貝克隆變換可有效地求出一些非線性方程的特解，其中有些用散射反演法難以得到；這使數學傢們對尋求非線性方程的貝克隆變換產生瞭很大興趣，自70年代以來已發展瞭好幾種新的方法。
散射反演方法之所以獲得成功，是因為它所處理的這類方程都可以寫成一對線性方程ψx=Uψ與ψt=Vψ的可積條件ψxt=ψtx，亦即
，這裡
U、
V是某些方陣。凡是可以作為這樣的關於
ψ的線性方程組的可積條件的非線性方程，稱為可積型的。
物理量u(x，t)的非線性演化方程的守恒律可用散度形式的微分方程
來描述，其中守恒密度
U與對應流量
F都是依賴於未知函數
u(
x，
t)的。從物理學上說，積分
就是一個不因時間而變化的物理量。無窮多個守恒律與孤立子解的存在是緊密相關的。很多具有孤立子解的非線性演化方程有無窮多個守恒律，因而也有無窮個守恒的物理量。
孤立子理論的發展，對數學和物理學都具有重要意義。物理學中的一些基本方程如規范場論中的自對偶楊－米爾斯方程、引力場理論中的軸對稱穩態愛因斯坦方程，以及一系列在流體力學、非線性光學、等離子物理中有重要應用的方程，都已應用孤立子理論中的方法找到瞭許多有興趣的精確解。在數學中，可積性方程的判定，及其代數性質、幾何性質的研究，不僅將大大豐富偏微分方程理論本身，而且將促進一系列與之相關的分支諸如李群、辛流形、代數幾何、函數論等的發展。