又稱共軛斜量法，是解線性代數方程組和非線性方程組的一種數值方法，例如對線性代數方程組
Ax＝f， (1)
式中 A為 n階矩陣， x和 f為 n維列向量，當 A對稱正定時，可以證明求(1)的解 x *和求二次泛函
(2)
的極小值問題是等價的。此處(
x，у)表示向量
x和у的內積。由此，給定瞭初始向量
x
，按某一方向去求(2)取極小值的點
x
，就得到下一個迭代值
x
，再由
x
出發，求
x
等等，這樣來逼近
x
*。若取求極小值的方向為
F在
x
(
k＝1，2，…)處的負梯度方向就是所謂最速下降法，然而理論和實際計算表明這個方法的收斂速度較慢，共軛梯度法則是在
x
處的梯度方向
r
和這一步的修正方向
p
所構成的二維平面內，尋找使
F減小最快的方向作為下一步的修正方向，即求極小值的方向
p
（其第一步仍取負梯度方向）。計算公式為
再逐次計算
\
n
\
n
\
n
\
n
(k=1，2，…)。可以證明當i≠j時，
從而
p
，
p
形成一共軛向量組；
r
，
r
，…形成一正交向量組。後者說明若沒有舍入誤差的話，至多
n次迭代就可得到(1)的精確解。然而在實際計算中，一般都有舍入誤差，所以
r
，
r
，…並不真正互相正交，而
x
x
，…等也隻是逐步逼近(1)的真解，故一般將共軛梯度法作為
迭代法來使用。
近來在解方程組(1)時，常將共軛梯度法同其他一些迭代法結合作用。特別是對病態方程組這種方法往往能收到比較顯著的效果。其方法是選取一對稱正定矩陣B並進行三角分解，得B=LLT。將方程組(1)化為
hу＝b， (3)
此處 y＝ l T x， b＝ l -1 f， h＝ l -1 A l -T，而
。再對(3)用共軛梯度法，計算公式為
\n
\n
\n
\n
\n
(k=0，1，2，…)適當選取B，當B很接近A時，h的條件數較之A大大減小，從而可使共軛梯度法的收斂速度大為加快，由一些迭代法的矩陣分裂A=M-N，可選取M為這裡的B，例如對稱超松弛迭代(SSOR)，強隱式迭代(SIP)等，這類方法常稱為廣義共軛梯度法或預條件共軛梯度法，它也可用於解代數特征值問題。
參考書目
馮康等編：《數值計算方法》，國防工業出版社，北京，1978。