格點問題

　　或稱整點問題，研究一些特殊區域甚至一般區域中的格點的個數。格點又稱整點，是指座標均為整數的點。格點問題是數論中的一類重要問題，起源於以下兩個著名問題的研究：①狄利克雷除數問題。設x＞1，D₂(x)表區域1≤u≤x>，1≤v≤x，uv≤x上的格點個數。1849年，P.G.L.狄利克雷證明瞭D₂(x)=xlnx+(2у-1)x+Δ(x)，這裡

，у是歐拉常數。這一問題的目的是要求出使餘項估計 成立的 λ的下確界 θ。因為 ，其中 d( n)是除數函數，所以把這一格點問題稱為狄利克雷除數問題。②圓內格點問題。設 x＞1， A ₂( x)表圓 上的格點數。 C.F.高斯證明瞭 A ₂( x)= πx+ R( x)，這裡 。求使餘項估計 成立的 λ的下確界 α的問題，稱為圓內格點問題或高斯圓問題。顯有 ，這裡 r ₂( n)是 的全體整數解的個數。利用初等方法，1903年，Γ.Ф.沃羅諾伊證明瞭 θ≤1/3；1906年，W.謝爾平斯基證明瞭 α≤1/3；利用較深的分析方法，1922～1937年，J.G.范·德·科普特首先證明瞭 α≤37/112， θ≤27/82；1934～1935年，E.C.蒂奇馬什證明瞭 α≤15/46；1942年，華羅庚證明瞭 α≤13/40；1963年，陳景潤、尹文霖證明瞭 α≤12/37；1950年遲宗陶和1953年H.-E.裡歇先後證明瞭 θ≤15/46，他們所用的方法都是閔嗣鶴提出的；1963年，尹文霖證明瞭 θ≤12/37；1985年，Γ.Α.科列斯尼克證明瞭 θ≤139/429，1985年，W.G.諾瓦克證明瞭 α≤139/429。另一方面，1916年 G.H.哈代已證明 α≥1/4；1940年，A.E.英厄姆已證明 θ≥1/4。一些數學傢還對餘項Δ( x)和 R( x)的均值做瞭估計。猜測 θ= α=1/4，但是至今未能證明。這兩個問題的直接推廣是 k維除數問題、球內格點問題以及 k維橢球內的格點問題等。對一般格點問題也有不少研究。關於這些問題中國數學傢做瞭不少工作。

　　關於一般平面區域的格點問題，M.V.賈爾尼科推廣高斯的方法後於1924年證明瞭：設Г是可求長的約當閉曲線，其長為l，其所圍面積為A；N是Г內及其上的格點數，則有│N-A│＜l。

　　

參考書目

　華羅庚著：《指數和的估計及其在數論中的應用》，科學出版社，北京，1963。