左邊為多項式的方程
，
稱為
n次代數方程，又稱多項式方程，其中
n=1，2，…；
α
代數基本定理說，復系數代數方程在復數域至少有一個根。如果x1是一個根，則Pn(x)一定可被(x-x1)所除盡，其商為(n-1)次多項式。如果n＞1，其商至少又有一個根x2，它也是原來方程的一個根。因此n次代數方程總是有n個根x1，x2，…，xn，其中可能有相同的根，叫做重根。
二次方程可以用公式求根，公式內包含某數的平方根；標準三次方程也可以用公式求根，公式內包含三次根；標準四次方程的對應多項式可以分解成兩個二次式的乘積，其系數在求出對應三次方程的一個根後也可用公式求出；五次及五次以上的代數方程一般不能用根式求解。
將超越方程f(x)=0左端換成多項式Pn(x)，超越方程就變成高次代數方程。因此超越方程求根的各種方法，例如割線法、牛頓法均可用於求高次代數方程的根（見超越方程數值解法）。下面是利用多項式性質的三種求根方法。
劈因子法 用x的二次式
除
P
n(
x)則得商
Q(
x)及餘式
r(x)=r1(x)+r2，
因而有Pn(x)=U(x)Q(x)+r(x)。 (1)
設 U( x)是一個近似二次因式，問題是怎樣修改 u 1和 u 2使對應的餘式更接近於零。為此，作線性近似，取
則修正量d
u
1、
d
u
2應滿足方程組
進一步可寫為
(2)
利用已知關系可求出
代入(2)後，就能求出
u
1和
u
2的校正量
d
u
1和
d
u
2。而
u
1+d
u
1、
u
2+d
u
2就是更好的二次因式的兩個系數。
伯努利法 設E是使數列Fk的下標增加1的運算子，即
EFk=Fk+1，
則齊次常系數線性差分方程
的特征方程就是代數方程
P
n(
x)=0，這個代數方程的根
x
1，
x
2，…，
x
n叫做差分方程的特征根。
給定(F0，F1，…，Fn-1)的定值例如(0，0，…，1)即可依次從(3)算出Fn，Fn+1，…。這樣就定出差分方程的一個特解。
如果特征根各不相同，則差分方程的一般解是
設
，且с
1≠0，則當
k→∞時，特解
F
k的主要項是第一項，即
，
這就是求最大實根
x
1的伯努利法。
設方程的最大根是一對共軛復根：
計算
可以證明：
，
由此可得最大共軛復根對應的近似二次因式：
。
勞思表格法 設給定代數方程Pn(x)=0的系數都是實數，其中α0=1。勞思表格的計算方法如下：
其他行的數的計算公式為
利用勞思表格可以對根的位置作出判斷。如果勞思表格上最左列自上而下
n+1個數
均為正數，則虛軸上及右半復平面上都沒有根；否則虛軸上或右半復平面上有根。設最左列系數都不等於零，則可以證明在虛軸上沒有根，在右半平面上根的個數等於在左列系數的變號次數。利用勞思表格還可以求出最大實部根的實部。設用
P
n(
x)的系數作出的勞思表格不滿足最左列系數都為正的條件，則知在右半閉復平面上有根。把復平面的原點平移到新原點(
α，0)，求出
P
n(
x)在
α點的展開式系數，利用新系數構造在
α點的勞思表格。選
α充分大，則在新原點的右半平面沒有根，最大實部根的實部必在區間(0，
α)內。構造在
α/2點的勞思表格，如果在右半平面有根，則最大實部根的實部在區間(
α/2，
α)內，否則在區間(0，
α/2)內。在有最大實部根的區間用中點繼續分割及判斷，則可得到最大實部根的實部的充分好的近似值。如果最大實部根是一個實根，所得值就是這個實根的近似值，否則它是有最大實部的一對或幾對共軛復根的實部的近似值，而共軛復根的虛部可以從最後點的勞思表格內求出。
設Pn(x)的勞思表格判明在右半平面上沒有根，則在負實軸上選新原點-α。選α充分大，則在新原點的右半平面上有根，最大實部根的實部在(-α，0)區間內。用中點分割法可以求出最大實部根。
在高次代數方程求根的過程中，往往會遇到病態多項式，它的系數的微小變化會引起零點的很大變化。因此，在電子計算機上編制通用求根程序時，計算機運算必須按高精度進行，即至少用雙倍精度進行。
若已求出多項式Pn(x)的一個實零點或一對共軛復零點，就可以用綜合除法將原多項式化成一低次的多項式，這樣可以依次求出Pn(x)的n個零點。但是，降階運算帶來瞭誤差積累。如果求根次序按模從大到小進行，則降階過程中引入的誤差對後面一些小根精度的影響可能是嚴重的；但如果按從小到大的次序進行，即使對於病態多項式，一般也不會影響後面求的根的精度。
參考書目
清華大學、北京大學《計算方法》編寫組編：《計算方法》，上冊，科學出版社，北京，1974。