研究數論函數的分佈問題。概率數論開始於1917年G.H.哈代與S.A.拉馬努金關於數論函數ω(n)的研究。此處ω(n)表示n的不同素因數的個數，例如ω(1)=0，ω(2)=1，ω(20)=2，ω(30)=3。對於任意的k，當n為k個不同素數之積時，有ω(n)=k。特別，當n=p為素數時，有ω(p)=1。所以ω(n)(n=1，2，…)的分佈很不規則，它可以取任意大的整數值，而又無窮多次取值1及2，3等。因此，研究ω(n)的值分佈就從研究ω(n)在區間[1，x]中的期望值入手，其中x是大於或等於2的整數。命Ak表示區間[1，x]中為k所整除的整數組成的集合，Px(Ak)表示Ak的概率。例如當x=100時，
一般說來
假定
p、
q為互異的素數，則
，所以當
x充分大時，有
這說明當
n在區間[1，
x]中隨機選取時，事件
A
p與
A
q是漸近獨立的，所以
ω(
n)在[1，
x]中的期望值為
，
它漸近地等於
（見
素數分佈）。
命ψ(y)為任何當y趨於無窮時亦趨於無窮的函數，則
。
這就說明在ω(n)(1≤n≤x)中，隻有極少數是偏離ln lnx的。
1934年，P.圖蘭進而證明瞭
1939年P.愛爾特希與M.卡茨發展瞭P.圖蘭的方法，證明瞭中心極限定理：命
f(
n)為適合│
f(
p)│≤1 的強加性函數。所謂強加性函數，即當(
m，
n)=1時，
f（
m，
n）=
f(
m)+
f(
n)，且
又命
。假定
B(
x)→∞（當
x→∞時），則
，
並稱之為愛爾特希-卡茨定理。
當取f(n)=ω(n)，則得
在概率數論方面作過重要貢獻的還有J.庫比利烏斯、M.B.巴班、A.溫特納和P.D.T.A.埃利奧特等人。
參考書目
P.D.T.A.Elliott，Probabilistic Number Theory，Ⅰ，Ⅱ，ASer.Comp.Stu.Math.，Spr.Ver.，No.239，240，1980.