偏微分運算元理論中的重要工具。它和擬微分運算元一起，被稱為“70年代技術”。擬微分運算元的前身是具強奇性的卷積型奇異積分運算元。

　　奇異積分運算元　在n維歐氏空間Rn中，設點x=(x1，x2，…，xn)的函數

，

式中：① Ω( x)是零次齊次的；② ；③ Ω( x)在單位球面 S n -1上的積分平均值是零，即

於是以 k( x)為核的奇異積分算子 K就是

，　　　(1)

這裡 。

　　經典的例子是所謂裡斯變換

式中 C n是某一僅依賴於維數 n的常數。特別當 n=1時，即為希爾伯特變換。當1＜ p＜∞時，後者乃 l p→ l p的有界算子，這是頗為深刻的一個經典結果。1952年A.P.考爾德倫和A.贊格蒙在將條件②大加削弱的情況下，成功地證明瞭一般(1)形算子 K的 l p有界性(1＜ p＜∞)。此後他們還發展瞭F.G.特裡科米(1926～1928)、G.吉勞德(1934～1936)、S.G.米歇利姆(1936～1948)諸人的前驅性工作，創立高維奇異積分算子的所謂米歇利姆-考爾德倫-贊格蒙理論，且應用於偏微分方程理論。

　　在這一理論及其應用中，作為(1)形之推廣的算子類

其算子代數（作乘積與取共軛）的符號演算法則，有突出的意義。(2)中系數 α( x)及其任意階微商均有界；核 關於 z是一 n次齊次的，且在｜ z｜=1上的平均值為零；對任意 α及β∈ Z 而言，當｜ z｜=1時， 總是有界的。在這些條件下，可以證明，任意(2)形算子 K是 l p→ l p的有界算子，經適當擴張後，也是索伯列夫空間 h s→ h s的有界算子（這裡1＜ p＜∞， s為任意實數）。

　　對任意由非負整數組成的n重指標

，總是令

，

，

。

　　對(2)類算子作符號演算的依托是關於該算子的象征（或稱作符號）的概念：對核k(x，z)取關於z的部分傅裡葉變換

，

並定義算子 K的象征為

。　　　(3)

用它根據傅裡葉變換理論，可將算子 K表為

。　　　(4)

這至少在 f∈ S( R n)（無窮次可微，且各階微商都劇減的施瓦爾茨函數類）時是正確的。由此，可以通過一些極限程序或對偶程序而擴張此式於 f∈ l p(1＜ p＜∞)，以至於 f∈ h s)（對一切s∈ R）等等。

　　可以證明，一個函數σ(x，ξ)是某算子K按(3)式定義的象征，當且僅當σ(xξ)關於ξ是零次齊次的，σ(xξ∈C∞(ξ≠0)並且對任意α、β∈Z

，總存在常數 C α， β使

。　　　(5)

當 σ( xξ)滿足以上條件時，令 α( x)為 σ( xξ)在｜ ξ｜=1上的平均值，並取 k( xξ)為 σ( xξ)- α( x)關於 ξ的部分逆傅裡葉變換，於是就得到以 σ( xξ)為象征的算子 K。

　　由上述可知，象征類關於逐點乘法和取復共軛的運算(關於加法和數乘法更不用說)是封閉的。以兩個(2)形奇異積分算子K1和K2之象征的乘積

為其象征的奇異積分算子稱為 K 1和 K 2的準乘積，記作 K 1。 K 2；以一個(2)形奇異積分算子 K之象征的復共軛 為象征的奇異積分算子稱為 K的準共軛，記作 K #。於是關於奇異積分算子的符號演算法則可以概述為：對每一個 β∈ R而言，差 K 1 K 2- K 1。 K 2與差 K *- K #，都是 h s→ h s+1的有界算子。這裡，對每個 β∈ R而言，由於算子 K（經擴張後）都是 K _ s→ h _ s的有界算子，而 h s又可自然地視作 h _ s的（復共軛線性）對偶，故 K有作為 h s→ h s的有界算子之通常意義下的共軛算子，將它記作 K *。

　　應當指出，如將象征

取成一僅是 ξ的函數 σ( ξ)時，(4)式可寫成 ，即 f→ Kf是一傅裡葉乘子變換（這裡對所涉及的任何 g， ĝ總表示 g的傅裡葉變換）。與此在本質上相似的變換早已見於傅裡葉級數理論中，特別，J.馬欽凱維奇1939年研究過多重傅裡葉級數的乘子變換的 l p有界性(1＜ p＜∞)，後來，S.G.米歇利姆對多重傅裡葉積分作瞭相應的工作。由於有此種種歷史緣由，以及事情的本質，人們總把一般高維奇異積分算子看作是具變系數的傅裡葉乘子。

　　擬微分算子　50年代末，60年代初，奇異積分算子的米歇利姆-考爾德倫-贊格蒙理論在偏微分方程的研究中頗為充分的顯示出它的功用。比如，A.P.考爾德倫用它導出關於線性偏微分方程的柯西問題惟一性定理，M.F.阿蒂亞與I.M.辛格又借以建立瞭影響很大的橢圓算子的指標理論。從而推動瞭一些數學傢致力於創立一種除奇異積分算子之外，還包括一般變系數線性偏微分算子及其逆（當其存在時）在內的算子代數，使得有更精密而同時也很靈活的符號演算法則。於是定名為擬微分算子的理論應運而生，其奠基性的代表著作是1965年發表的J.J.科恩和L.尼倫伯格的《擬微分算子代數》以及L.赫爾曼德爾的《擬微分算子》。

　　考慮一個線性偏微分算子

。為簡單計，設 α α( x)連同其各階微商在 R n上都有界。按傅裡葉反演公式

，　　　(6)

式中 ，這至少於 u∈ S( R n)時正確。與公式(4)對照，啟示人們在 P( xξ)既不是 ξ的多項式，也不是 ξ的零次正齊次函數的情形，照樣用公式(6)定義算子 P( x， D)，並稱之為以 P( xξ)為象征的擬微分算子。當限制象征 P( xξ)於適當的函數類中時，則所得出的擬微分算子類構成極便於操作（其中包括取共軛）的算子代數。比如說，可以使用象征類： （ m取遍所有實數）；這裡稱 P( xξ∈ B S m，當且僅當 並對任意 α、&BETA；∈ Z 總存在常數 C α， β使

。　　　(7)

象征在 B S m中的擬微分算子，稱為是 m階的。(3)形奇異積分算子，如(3)、(4)、(5)所表明，基本上是零階的擬微分算子。(5)與 m=0時的(7)之差別是技術性的。

　　任何m階的擬微分算子，經擴張後，對任意實數s而言，都是hs→hs-m的有界算子。

　　如

，則乘積算子 A( x， D) B( x， D)也是一擬微分算子 C( x， D)，其屬於 的象征 C( xξ)由如下的萊佈尼茨規則漸近地確定：

　　　(8)

( modulo B S -∞屌∩ B S m)( m取遍所有實數)。實際上，(8)意味著：如對任一正整數 N，令 · 則 A( x， D) B( x， D)- C N( x， D)是階為 m 1+ m 2- N的一擬微分算子，從而是 的有界算子( N愈大愈光滑）又若 A∈ B S m，則共軛算子 A( x， D) *也是個階為 m的擬微分算子，其象征是

。

由(8)特別可知：

　　A(x，D)B(x，D)=AB(x，D)modulo階更低的項，

　　［A(x，D)，B(x，D)］

　　　　=-i｛A，B｝(x，D)modulo低階項。

此處［A(x，D)，B(x，D)］表示括號中兩算子的交換子，而

　　　(9)

就是經典力學中的所謂泊松括號。

　　此外，擬微分算子如同微分算子一樣，經變數變換後仍是這種算子，即，如τ：x→y=τ(x)是Rn之一微分自同胚（設τ(x)的各階微商均有界且雅可比行列式 detτ′(x)的絕對值有正下界），則對任意

也是個 m階似微分算子，記作τ A( y， D x)，其象征

\ n

正是擬微分算子的這種屬性及復合法則，使得人們能在任一 C ∞微分流形 M上加以定義，此時象征乃是餘切叢 T* M上的對象。

　　關於擬微分算子理論的各種應用，在L.尼倫伯格的《線性偏微分方程講義》、F.特裡韋斯的《擬微分算子和傅裡葉積分算子導引》以及J.查紮雷恩與A.皮裡奧合寫的《線性偏微分方程論導引》中有詳細的敘述。

　　必須指出，擬微分算子的運算性質，容許人們將有關偏微分算子的許多問題微局部化之後處理，比如，通過某種單位分解

( φυ具適當支集)，而將一偏微分算子 P( x， D)分解成 低階項，等等。這與下面要講的傅裡葉積分算子理論配合，就形成瞭偏微分算子論中最強有力的所謂“70年代技術”。它的最新表述和發展在C.L.費弗曼的《不定性原理》之中有精彩解說。

　　傅裡葉積分算子　純形式地而言，定義典型的局部傅裡葉積分算子，隻不過將(6)中的位相函數x·ξ換成比較更一般的函數S(xξ)，即它們的形狀如

　　　(10)

式中位相 S( x，η)假定是 中實值函數，並對 ξ是一次正齊次的，而振幅 α（ x，η）屬於某個象征類(在擬微分算子理論中出現那些)，在｜η｜充分小時恒等於零；此外，重要的設在振幅 α的支集的某錐狀鄰域（關於η用任何正實數乘後不變）中， S( x，η)是一個典型變換 ψ：( y，η)→( xξ)= ψ( xξ)的生成函數，即 ψ由方程

確定 。此處說到的典則變換，就是使泊松括號（其定義形式為(9)）為不變的變換。

　　傅裡葉積分算子產生於用幾何光學方法求經典波動過程的漸近表達式及求量子力學問題在大范圍內適用的準經典近似。P.D.拉克斯1957年關於前一方面的工作，Β.∏.馬斯洛夫1965年關於後一方面的工作，導致赫爾曼德爾於1968～1970年期間系統地建立瞭傅裡葉積分算子的局部以及整體理論。

　　典則變換，及與之相關的一整套辛幾何是傅裡葉積分算子理論及其應用的基石，這早已在Β.∏.馬斯洛夫的工作中表現得相當清楚。後來，ю.Β.葉戈羅夫又有一重要發現（1969）：當A為形如(10)的一個算子，而P和Q是使相似關系PA＝AQ成立的擬微分算子，則P和Q的象征(modolu低階項)由位相S(x，η)生成的典型變換聯系。這意味著象尋常作自變量變換以簡化微分算子似地，有可能用典則變換先簡化其象征，然後用相應的傅裡葉積分算子作相似變換以簡化一個擬微分算子。其實，這隻是在微局部意義上方能作到的事情，此種曲折實現方法即所謂的“70年代技術”。