傅裏葉分析

　　又稱調和分析，分析學中18世紀以後逐漸形成的一個重要分支，主要研究函數的傅裏葉變換及其性質。在經歷瞭近兩個世紀的發展之後，研究領域已從直線群、圓周群擴展到一般的抽象群。關於後者的研究又稱為群上的傅裏葉分析，以區別於前者的經典傅裏葉分析。傅裏葉分析，作為數學的一個分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數學其他分支的發展。數學中很多重要思想的形成，都與傅裏葉分析的發展過程密切相關。

　　歷史淵源<　法國科學傢J.-B.-J.傅裡葉由於當時工業上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中，發展瞭熱流動方程，並且指出如何求解；在求解過程中，他提出瞭任意周期函數都可以用三角級數來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴格的論證，但對近代數學以及物理、工程技術卻都產生瞭深遠的影響，成為傅裡葉分析的起源。

　　由三角函數系｛cosnx，sinnx｝(n=0，1，2，…)組成的無窮級數

　　　　(1)

稱為 三角級數，其中 α _n， b _n為系數，與 x無關。若級數(1)對於一切 x收斂，它的和記為 f( x)：

，　　　　(2)

則 f( x)是一個具有周期 2 π的周期函數。上式兩邊分別乘以 cos nx或 sin nx，並且在(0， 2 π)上同時積分，就得到公式

。　　　　(3)

上面的運算是形式的，因為符號Σ與積分的交換缺乏根據。為瞭保證上述運算的正確性，應當對級數(1)的收斂性加以必要的限制，例如一致收斂性等。但是，上面提供的純形式運算，卻提出瞭一個很有意義的問題：如果 f( x)是一個給定的以 2 π為周期的周期函數，通過(3)可以得到一列系數 α _n， b _n，從而可構造出相應的三角級數(1)。這樣得到的三角級數(1)是否表示 f( x)？正是傅裡葉，他首先認為這樣得到的級數(1)可以表示 f( x)。

　　給定f(x)，利用(3)得到的三角級數(1)，稱為f的傅裡葉級數，而稱(3)為f的傅裡葉系數。這種思想可以推廣到任意區間上的正交函數系。特別，

( n=0，±1，±2，…)是［0， 2 π］上的就范正交函數系，函數 f關於它的傅裡葉級數為

　　　　(4)

稱為 f的傅裡葉級數的復形式。

　　發展概況　傅裡葉分析從誕生之日起，就圍繞著“f的傅裡葉級數究竟是否收斂於f自身”這樣一個中心問題進行研究。當傅裡葉提出函數可用級數表示時，他的想法還沒有得到嚴格的數學論證，實際的情形人們並不清楚。P.G.L.狄利克雷是歷史上第一個給出函數f(x)的傅裡葉級數收斂於它自身的充分條件的數學傢。他的收斂判別法，後稱為狄利克雷-若爾當判別法。他證明瞭在一個周期上分段單調的周期函數f的傅裡葉級數，在它的連續點上必收斂於f(x)；如果f在x點不連續，則級數的和是(f(x+0)+f(x-0))/2。順便指出，狄利克雷正是在研究傅裡葉級數收斂問題的過程中，才提出瞭函數的正確概念。因為在他的判別法中，函數在一個周期內的分段單調性，可能導致該函數在不同區間上的不同解析表示，這自然應當把它們看做同一個函數的不同組成部分，而不是像當時人們所理解的那樣，認為一個解析表達式就是一個函數。

　　（G.F.）B.黎曼對傅裡葉級數的研究也作出瞭貢獻。上面說過，確定f的傅裡葉系數，要用到積分式(3)。但是人們當時對積分的理解還不深入。黎曼在題為《用三角級數來表示函數》(1854)的論文中，為瞭使得更廣一類函數可以用傅裡葉級數來表示，第一次明確地引進並研究瞭現在稱之為黎曼積分的概念及其性質，使得積分這個分析學中的重要概念，有瞭堅實的理論基礎。他證明瞭如果周期函數f(x)在［0，2π］上有界且可積，則當n趨於無窮時f的傅裡葉系數趨於0。此外，黎曼還指出，有界可積函數f的傅裡葉級數在一點處的收斂性，僅僅依賴於f(x)在該點近旁的性質。這個非常基本而重要的結果稱之為局部性原理。

　　G.G.斯托克斯和 P.L.von賽德爾引進瞭函數項級數一致收斂性的概念以後，傅裡葉級數的收斂問題進一步受到瞭人們的註意。H.E.海涅在1870年的一篇論文中指出，有界函數f(x)可以惟一地表示為三角級數這一結論，通常采用的論證方法是不完備的，因為傅裡葉級數未必一致收斂，從而無法確保逐項積分的合理性。這樣，就可能存在不一致收斂的三角級數，而它確實表示一個函數。這就促使G.（F.P.）康托爾研究函數用三角級數表示是否惟一的問題。這種惟一性問題的研究，又促進瞭對各種點集結構的探討。G.康托爾第一次引進瞭點集的極限點以及導集等概念，為近代點集論的誕生奠定瞭基礎。

　　K.（T.W.）外爾斯特拉斯在1861年首次利用三角級數構造瞭處處不可求導的連續函數。他的這一發現震動瞭當時的數學界，因為長期的直觀感覺使人們誤認為，連續函數隻有在少數一些點上才不可求導。

　　20世紀以來的發展　

　　勒貝格積分理論　20世紀初，H.L.勒貝格引入瞭新的積分與點集測度的概念，對傅裡葉分析的研究產生瞭深遠的影響。這種積分與測度，現在稱為勒貝格積分與勒貝格測度，已成為數學各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒貝格用他的積分理論，把上面提到的黎曼的工作又推進瞭一步。例如，根據勒貝格積分的性質，任何勒貝格可積函數的傅裡葉級數，不論收斂與否，都可以逐項積分。又例如，對於［0，2π］上勒貝格平方可積的函數，帕舍伐爾等式成立：

。

　　傅裡葉級數，特別是連續函數的傅裡葉級數，是否必處處收斂？1876年P.D.G.杜佈瓦－雷蒙首先發現，存在連續函數，它的傅裡葉級數在某些點上發散；後又證明，連續函數的傅裡葉級數可以在一個無窮點集上處處發散。這反面結果的發現提醒人們對傅裡葉級數的收斂性應持審慎態度。

　　費耶爾求和法　正是基於上述原因，1904年，匈牙利數學傢L.費耶爾首次考慮用部分和的算術平均代替級數的部分和，證明瞭傅裡葉級數部分和序列的算術平均，在函數的連續點上，必收斂於函數自身。這樣，通過新的求和法，又能成功地用傅裡葉級數表達連續函數。這無疑是傅裡葉級數理論的一個重要進展。費耶爾之後，各種求和法相繼產生。一門新的學科分支，發散級數的求和理論，就此應運而生。

　　盧津猜想　與此同時，傅裡葉級數幾乎處處收斂的問題，特別是所謂的盧津猜想，受到人們的重視（見盧津問題）。瑞典數學傢L.卡爾森用十分精巧的方法，才證實瞭這一猜想的正確性。

　　復變函數論方法　傅裡葉級數與單位圓內解析函數的理論有著非常密切的聯系。假設(1)是可積函數f的傅裡葉級數，簡單的計算表明，它是復變量z的冪級數

　　　　(5)

的實部。另一方面，級數(5)是單位圓內的解析函數，記為 F( z)。這樣，傅裡葉級數(1)可以通過單位圓內解析函數的理論來研究。這就是傅裡葉分析中的復變函數論方法，它是20世紀前半葉研究傅裡葉級數的一個重要工具。

　　經典的H^p空間概念　進一步的研究導致G.H.哈代以及F.（F.）裡斯兄弟建立單位圓上H^p空間的理論。他們研究瞭單位圓內使

有界的解析函數 F( z)，這裡0＜ r＜1，而 p＞0。這類函數的全體，稱為 H ^p空間，它是近代 H ^p空間理論的先驅。

　　通過傅裡葉級數刻畫函數類是傅裡葉分析中的重要課題，著名的帕舍伐爾公式以及裡斯-費希爾定理反映瞭函數類l²(0，2π)的特征。如果P≠2，則有以下的豪斯多夫-楊定理。

　　豪斯多夫－楊定理　設1＜p≤2，p′=p/(p-1)，如果f∈l^p(0，2π)，C_n是f的復傅裡葉系數，那麼

；

　　反之，如果{с_n}(-∞＜n＜∞)是滿足

的復數列，那麼｛с _n｝必為 中某函數 f的傅裡葉系數，且

。

　　李特爾伍德-佩利理論　上述豪斯多夫-楊定理的實質，是用傅裡葉系數的大小來反映函數所屬的空間，但它並沒有給出空間L^p(0，2π)的傅裡葉級數特征。因此，不可能象帕舍伐爾公式那樣，用傅裡葉系數的大小來刻畫l^p(0，2π)中函數的特征。考慮函數

，1＜ p＜2，但 。這樣的函數是存在的。假設 f ₀的傅裡葉級數的復形式是 ，那麼可以證明，級數 （±號隨機地取）不是傅裡葉級數，更不可能是 L ^p（0， 2 π）中函數的傅裡葉級數。這說明，不能簡單地期望以傅裡葉系數的大小來刻畫 l ^p（ p≠2）中函數的特征。由 J.E.李特爾伍德、R.E.A.C.佩利首創，後由A.贊格蒙以及J.馬欽凱維奇等發展起來的理論，就給出瞭 l ^p(0， 2 π)空間中函數的傅裡葉級數的特征性質。方法是：把級數 進行“二進”分割成如下的序列： ； 。那麼當1＜ p＜∞時，存在絕對常數с ₁、с ₂，使得

　　　　(6)

。

　　極大函數　20世紀50年代以前的重要工作中，還應當提到哈代與李特爾伍德的其他許多貢獻。特別是30年代，他們用極大函數研究傅裡葉級數，取得瞭很深刻的結果。極大函數是一種算子，它的定義是

。　　　　(7)

極大函數 M( f)( x)比函數自身要大，用它來控制傅裡葉分析中某些算子，可以達到估計其他算子的目的。

　　50年代以前，傅裡葉分析的研究領域基本上限於一維的具體空間，50年代以後的研究，逐漸向多維和抽象空間推廣。

　　考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論　由於偏微分方程等許多數學分支發展的需要，50年代出現的考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論，標志瞭調和分析進入瞭一個新的歷史時期。例如，當f∈l¹(R_n)，泊松方程Δu=f的基本解u(x)的二階導函數，在一定條件下（例如f具有Lipα連續性），可以表成如下的奇異積分

，

с _n為某常數，僅與維數 n有關。積分(8)作為勒貝格積分一般是發散的；註意到 Ω _j( y)在 R ⁿ的單位球面 S上的積分為0，可以證明，積分(8)在柯西主值意義下存在，並且作為 x的函數是連續的，從而 u( x)是泊松方程的解。

　　考爾德倫、贊格蒙研究瞭一類相當廣泛的奇異積分算子

　　　　(9)

的性質，這裡 Ω( y) 是具有一定光滑性的零階齊次函數，且滿足條件 。他們證明瞭這種積分算子具有 l ^p有界性( p＞1)；利用這些性質，可以得到某類微分方程中解的“先驗估計”。

　　h^p空間理論的近代發展　E.M.施坦、G.韋斯於20世紀60年代，引進瞭上半空間

上的 h ^p空間，它們是 n＝1的推廣。當 n=1時， h ^p( p＞0)空間中的函數在 R＝(-∞，∞)上的邊值函數幾乎處處以及在 l ^p范數下都存在，施坦、韋斯定義的多維 空間，顯然是一維 h ^p( R ₊ ²)空間的推廣。人們自然要問，經典的 h ^p( R ₊ ²)空間中最基本的性質，例如邊值函數的存在性等，在多維 空間中是否還被保留？施坦、韋斯首先發現， p＞( n-1)/ n時，答案是肯定的；例如他們證明，若 F∈ ， p＞( n-1)/ n，那麼 幾乎處處以及在 L ^p范數意義下都存在。1964年，考爾德倫、贊格蒙利用高階梯度概念，原則上把 h ^p空間的上述限制 p＞( n-1)/ n放寬為 p＞0，但他們的方法比較復雜，隨著指標 p的不同， h ^p空間定義的一致性，當時並不清楚。

　　70年代初，h^p空間的近代理論經歷瞭引人註目的發展。D.L.伯克霍爾德、R.F.岡迪、M.L.西爾費斯坦於1971年，首先就一維的情形，證明

的充分且必要的條件是， F( x+ i y)的實部 u( x， y)的角形極大函數

，

稍後，C.費弗曼、施坦又把上述特征推廣到多維

中去，並且進一步指出，當0＜ p＜∞時， f( x)作為 中某函數的邊值函數的充分且必要的條件是：存在充分光滑的函數 φ( x)， ，使得 f關於 φ的角形極大函數

，

式中

。

這樣，作為 h ^p( R ⁿ)函數的實變函數論特征，它完全可以脫離泊松核，也無需借助於解析函數或調和函數的概念，而純粹是實變函數論的一種內在特性的反映，這是出乎人們的想象的。

　　群上的傅裡葉分析　對於R=(-∞，∞)上定義的非周期可積函數f(x)，傅裡葉積分

代替瞭傅裡葉級數(1)，而

稱為 f的傅裡葉變換。

　　傅裡葉級數(1) 和傅裡葉積分(10)的具體形式不同，但都反映瞭一個重要的事實，即它們都把函數f分解為許多個分量e^ixz(-∞＜z＜∞)或e^ixn(n＝0，±1，±2，…)之和。例如對於傅裡葉級數(1)，f(x)分解為с_ne^ixn(n＝0，±1，±2，…)之和；而傅裡葉積分(10)則表明，f(x)可以分解為無窮個 邘(z)e^ixz(-∞＜z＜∞)之“和”。分量的系數с_n(n=0，±1，±2，…)以及邘(z)(-∞＜z＜∞)的確定，也有類似之處。事實上，它們都可以用下面的形式來表達：

。　　　　(11)

當f為具有2π周期的周期函數時，G＝(0，2π)，

，測度 是 G＝［0， 2 π］上的勒貝格測度，此時 ，即傅裡葉系數(4)；當 f為定義在(-∞，∞) 上的非周期函數時， x( t)= (-∞＜ x＜∞)，而 是(-∞，∞)上的勒貝格測度，公式(11)即為傅裡葉變換。

　　把函數f分解為許多個“特殊”函數｛e^ixt｝之和的思想，啟發人們考慮更為深刻的問題。事實上，從群的觀點看，無論是周期函數還是非周期函數，它們的定義域都是拓撲群G，就是說，G有一個代數運算，稱為群運算，以及與之相協調的極限運算，稱為G的拓撲。傅裡葉級數或傅裡葉積分的任務，正是研究G上定義的函數f(x)分解為群上許多“特殊”函數（例如e^inx或e^itx）之和的可能性，以及通過傅裡葉系數或傅裡葉變換來研究f自身的性質。對於一般的拓撲群G，相當於｛e^inx｝或｛e^itx｝的“特殊”函數是哪種函數；把這種“特殊”函數x(t)代入公式(11)，又必須確定G上的測度μ，以求出f的傅裡葉變換，這是在群上建立傅裡葉分析理論所必須解決的兩個基本問題。對於直線群R=(-∞，∞)，它的“特殊”函數x(t)=e^ixt(-∞＜x＜∞)的特殊性，就在於它們滿足以下的三個條件：①x(t+s)=x(t)x(s)，②｜x(t)｜=1，③x(t)是t的連續函數。用群表示論的術語來說，條件①、②、③合起來，正好說明x(t)是群R的一個酉表示，而且進一步可以證明，滿足①、②、③的不可約的酉表示的全體就是 ｛e^ixt｝(-∞＜x＜∞)。對圓周群T而言，T的“特殊”函數全體x_n(t)=e

( n＝0，±1，±2，…)除滿足①～③以外，還滿足條件④ x _n( 2 π)=1。從群表示論的觀點看，條件①～④合起來，說明 T的“特殊”函數正好是群 T的酉表示；進一步則可證明， T的一切不可約酉表示正好就是｛ e ｜ n=0，±1，±2，…｝。這樣，尋找一般抽象群 G上合適的“特殊”函數的問題，就轉化為研究和尋找群 G上一切不可約酉表示的問題。對於緊群或局部緊的交換群，群表示論的結果已經相當豐富，相應的“特殊”函數的研究也比較成熟。至於既非交換又非緊的拓撲群，尋找相應的“特殊”函數，尚是一個值得探索的難題。

　　研究拓撲群上的測度是建立群上傅裡葉分析的另一個基本課題，因為群上的積分(11)離不開相應的測度。以可加的局部緊拓撲群R=(-∞，∞)為例，經典的勒貝格測度的主要特點是：①R中任一緊集的勒貝格測度必為有限；②R中任何可測集的勒貝格測度關於右（或左）平移是不變的。人們自然要問，一般的拓撲群上，具有①、②兩條件的測度（現在稱為哈爾測度）是否存在？存在的話，是否惟一？這個問題，自1930年以來，經A.哈爾，A.韋伊以及И.М.蓋爾范德等人的努力，已經證明，在局部緊的拓撲群上，滿足條件①、②的哈爾測度是一定存在的，並且相互間僅差常數倍。例如，以乘法為群運算的全體正實數構成一拓撲群R⁺，它的拓撲就是歐氏空間的拓撲，那麼測度dμ=x^_1dx就是R⁺上的哈爾測度。這是因為，對於任意的

，

這說明測度 d μ= x ^{_ 1} d x關於位移是不變的。如果進一步求出群 R ⁺的一切不可約酉表示，則經過計算，可以證明 R ⁺的一切不可約酉表示就是｛ x ^it｜- ∞＜ t＜∞｝。這樣，由公式(11)，對於群 R ⁺上的可積函數 f( x)， f的傅裡葉變換

。

　上式表達的 邘( t)正好又是經典的所謂梅林變換 M f( x)，是R.H.梅林19世紀末為研究狄利克雷級數的有關性質時引進的。這個特例說明，群上的傅裡葉分析，不僅把梅林變換統一到傅裡葉變換中來，更重要的是，群論觀點的引入，使得隱藏在某些現象背後的內在聯系，被揭示得更清楚更深刻瞭。

　　

參考書目

　A.Zygmund，Trigonometric Series，2nd ed.，Cam-bridge Univ.Press，Cambridge，1959.

　E.M.Stein，Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ.Press，Princeton，1970.

　G.M.Stein and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press，Princeton，1971.

　E.Hewitt and K.A.Ross，Abstract harmonicAnalysisVol.1～2，Springer-Verlag.Berlin，1963.1970.