實數（或複數）絕對值在任意域上的推廣。賦值這個概念最初是由J.屈爾沙克於1913年提出的。設φ是定義在任意域F上的一個取非負實數值的函數，並滿足以下三個條件：①φ(α)=0，當且僅當α=0，並對某個α∈F有φ(α)≠1；②φ(αb)=φ(α)φ(b)；③φ(α+b)≤φ(α)+φ(b)，J.屈爾沙克把這樣的φ稱為F上的一個賦值。按照通行的叫法，後改稱之為F的絕對值。不久以後，A.奧斯特羅夫斯基引進瞭另一種絕對值φ，它滿足上述的①和②，以及④
，並把這種
φ稱為非阿基米德絕對值，而把滿足①、②、③而不滿足④的那些
φ稱為阿基米德絕對值。實數域
R或復數域
C的通常絕對值就是它們的阿基米德絕對值。有絕對值
φ的域
F，記作(
F，
φ)。
完全域 借助於F的絕對值φ，可以把分析學上的一些概念移植於F。設｛αi｝是F的一個序列。若對於每個實數ε>0，總有一個自然數n0，使得當m，n≥n0時，恒有φ(αm－αn)＜ε，則稱{αi}是(F，φ)的一個φ柯西序列。若對於序列｛αi｝，有α∈F，使得當n≥n0時恒有φ(αn-α)＜ε則稱{αi}是φ收斂的，而α稱為它的φ極限。若(F，φ)中每個φ柯西序列都是φ收斂的，則稱F關於φ是完全的，或者說(F，φ)是完全域(complete field)。實數域R或復數域C關於通常的絕對值是完全的，而K.亨澤爾的P進數域Qp則是一個非阿基米德絕對值的完全域。對這兩種域作統一的處理，正是發展賦值理論的一個主要出發點。F上所有形如
的級數，稱為
F上關於文字
X的形式冪級數。按照通常的加、乘運算，它們組成一個域，稱為
F上的形式冪級數域，記作
F((
x))。令
，以及
ρ(0)=0，於是得到一個完全域(
F((
X))，
φ)。
當φ是阿基米德絕對值時，有著名的奧斯特洛夫斯基定理：若F關於阿基米德絕對值φ是完全的，則F連續同構於R或C。
賦值和賦值環 非阿基米德絕對值這個概念還可以作如下的推廣。設 Г是一個有序交換群，其運算為乘法，單位元素為1。設0是一個符號，它與Г的元素r，滿足r·0＝0·r＝0·0＝0，以及0＜r。若φ：F→Г∪{0}是個滿映射，滿足：①φ(α)=0當且僅當α=0；②φ(αb)=φ(α)·φ(b)；③
，則稱
φ是
F的一個賦值.或者說
F是有賦值
φ的賦值域，記作(
F，
φ)。Г稱為
φ的值群。當Г是正實數乘法群時，
φ就是前面所說的非阿基米德絕對值。在賦值域(
F，
φ)中，子集
成一個環，稱為
φ的賦值環。
F的子環
A成為某個賦值的賦值環，當且僅當對於
F的每個元素
α，必有
α∈
A或者
α
_
1∈
A。
從域F的一個子環A到某個域K的一個同態映射B，如果滿足：①對於α∈F-A，有α_1∈A以及α_1B=0；②B把A的單位元素映射到K的單位元素，那麼B稱為F的一個位。域的每個位，顯然給出一個賦值環；反之，從域的賦值環也不難作出域的一個位。因此，賦值、賦值環和位這三個概念密切相關。位還是代數幾何中的一個重要概念，早在R.戴德金和H.韋伯的經典著作中就有瞭它的雛型。賦值自W.克魯爾於20世紀30年代初提出以後，賦值理論廣泛應用於代數數論、類域論以及代數幾何等方面；到瞭60年代，它又與泛函分析有著日益增長的關聯。
賦值的階 設Г是賦值φ的值群，Δ是Г的一個子群。若對於Δ的每個元素δ，Г中所有滿足δ-1＜у＜δ的元素у也屬於Δ，則Δ稱為Г的一個孤立子群。｛1｝和Г都可以作為Г的孤立子群。以下設Г≠｛1｝。由於Г是有序的，Г中所有的孤立子群按包含關系成一個全序的集。除Г 本身外的所有孤立子群，按包含關系所成全序集的序型定義為Г的階。若φ的值群Г的階是m，就稱φ是m階賦值。因此，所謂一階賦值，就是指值群隻有｛1｝為其真孤立子群的賦值。有序交換群的階為1，當且僅當它保序同構於某個由實數所成的乘法群。這個事實表明，一階賦值正是前面所定義的非阿基米德絕對值。
離散賦值 當一階賦值φ的值群為無限循環群時，則φ稱為離散賦值。例如，關於有理數域Q。設p是一個素數，那麼每個有理數α≠0都可惟一地寫成
的形式，其中
b、с是與
p互素的整數，
v(
α∈
Z。規定
，以及
φ(0)=0。不難驗知，
φ滿足賦值的條件，而且是一個離散賦值，稱之為
Q的
p進賦值。
賦值的開拓 設(F，φ)是一個賦值域，K是F的一個擴域，若K有一個賦值ψ，使得對每個α∈F，都有ψ(α)=φ(α)，則ψ稱為φ在K上的開拓。關於賦值開拓有存在性定理：F的賦值在F的任何一個擴域上都至少有一個開拓。
拓撲域 如果域F有一個拓撲τ，使得F的四則運算關於τ是連續的，那麼F稱為關於τ的拓撲域，記作(F，τ)。庫爾雪克意義下的賦值域，是拓撲域的最早例子。
賦值理論也可以從拓撲代數的角度來研究，是基於下述事實。對於有絕對值φ的域F，所有形如｛α∈F｜φ(α)＜ε｝的子集構成零元素的一個基本鄰域族，從而生成F的一個域拓撲。在φ是F的賦值時，情形也相同。對拓撲域作系統的研究始於20世紀30年代初期D.von 丹齊克的工作。
局部緊域 任何拓撲域(F，τ)隻能是連通的，或者完全不連通的。如果τ是F的一個局部緊拓撲，那麼(F，τ)稱為局部緊域。離散拓撲也是一種局部緊拓撲。僅就非平凡的和非離散的情形而論，局部緊域有一些顯著的性質。首先，每個局部緊域(F，τ)都有一個絕對值φ，使得由φ所生成的拓撲與τ相同。其次，還有定理：設(F，τ)是一個局部緊域。如果它是連通的，那麼它連續同構於R或C（關於通常絕對值的拓撲）；如果它是完全不連通的，那麼它就連續同構於p進數域Qp的一個有限擴域，或者某個有限域K上的形式冪級數域K((x))的有限擴域。
參考書目
O.Zariski and P.Samuel，Commutative Algebra，Vol.2，Springer-Verlag，New York，1960.
O.Endler，valuation Theory，Springer-Verlag，Berlin，1972.