具有複結構的微分流形。即它能被一族座標鄰域(見微分流形)所覆蓋，其中每個座標鄰域能與n維複空間Cn中的一個開集同胚，從而使座標區域中的點具有複座標(z1，…，zn)，而對兩個坐標鄰域的重疊部分中的點，其對應的兩套復坐標之間的坐標變換是復解析的。稱n為此復流形的復維數。一個n維復流形也是2n維的(實)微分流形。

　　作為一維的復流形的黎曼面的研究有著悠久的歷史，而一般復流形的研究從20世紀40年代才開始。現在，它已成為近代數學中十分重要的概念和課題。

　　最簡單的復流形是復數平面C及復歐氏空間Cn。

　　考慮R3中的單位球面。它可以被球面分別去掉北極和南極所得到的兩個坐標鄰域所覆蓋。用關於北極的球極投影得到一個坐標映射，而關於南極的球極投影後再取共軛復數又得到另一個坐標映射。這樣，單位球面也構成一維復流形，稱為黎曼球面。

　　對復射影空間CPn描述如下：設Cn

是復 n+1維的歐氏空間， C n \｛0｝是 C n +1中非零點全體。對其中兩點 和 ，如存在 α∈ C使 ，則稱 Z 1和 Z 2等價，( z r o，…， z嬪)稱為此等價類的齊次坐標， CP n就是上述這種等價類的全體，它是 n維復流形。事實上 C P 1和黎曼球面是同構的。

　　對CPn中的任一點p，Z=(z0，…，zn)是它的齊次坐標，那麼　

是 C n 中以原點為球心的單位球面 S 2 n 中的一點。由 p點所確定的 S 2 n 上點的全體構成 S 2 n 中的大圓。因此 C P n中的點也可看成 S 2 n 中的大圓的全體。

　　如在復流形M上定義瞭一個下列復形式

的黎曼度量，其中 是埃爾米特陣，則稱此度量為埃爾米特度量，稱具有埃爾米特度量的復流形為埃爾米特流形。復流形上總存在埃爾米特度量。

　　在埃爾米特流形中可引進一個二次外微分形式ω，稱為凱勒形式，它在復坐標下的局部表達式為

。

若d ω＝0，即 ω是閉形式，稱埃爾米特流形為凱勒流形。

　　復歐氏空間Cn關於通常度量

是凱勒流形。在復射影空間 C P n中有著名的富比尼-施圖迪度量，描述如下：設 P是 C P n中任一點，它確定瞭 S 2 n 中的大圓。 C P n在 P點的任一切向量 X可對應於球面 S 2 n 中與上述大圓正交的切向量 x，把 x的長度定義為 X的長度。就給出瞭 C P n中的富比尼-施圖迪度量； C P n關於這個度量構成凱勒流形。任何黎曼面關於其上任何與復結構相容的黎曼度量也是凱勒流形。

　　如果在復流形M上有一個黎曼度量，那麼由這個度量，對M上任一點的每個二維平面可定義截面曲率(見黎曼幾何學)。如特取某點P處的二維切平面σ為全純截面，即n維復切空間TpM的一維復子空間，則相應於σ的截面曲率，稱為全純截面曲率。前面例子中，復歐氏空間關於通常度量的全純截面曲率為零，復射影空間關於富比尼-施圖迪度量的全純截面曲率為正常數。

　　

參考書目

　S.Kobayashi and K.Nomizu，Foundations of Differentia Geometry，Vol.2，John Wiley &Sons，New York，1969.