一種特殊的隨機過程，它是一組粒子的分裂或滅亡過程的數學模型。例如，某種生物群中，每一母體（粒子）生育第二代（或不生育），第二代中每一母體又生育第三代……。以Zn表示此群體中第n代的個體數，{Zn，nn=0，1，2，…}便是一分支過程。又如，原子反應中的中子數也構成分支過程。以下設Z0=1，見
。
離散時間的分支過程 設時間參數為n＝0，1，2，…，在分支過程理論中起重要作用的是分裂概率pk，它是任何一代的一個粒子分裂為k個的概率(k=0，1，2，…)。其母函數（見概率分佈）記為
。假設各個粒子的分裂是獨立進行的，這種分支過程{
Z
n}通常稱為高爾頓－沃森過程（簡稱G-W過程），它是一個馬爾可夫鏈（見
馬爾可夫過程）。
利用g(s)可求出有關{Zn}的下列諸量。若已知第n代的粒子數
，則下一代粒子數
Z
n
+1=
j的轉移概率為
中
s
j的系數。以
g
n(
s)表
Z
n的母函數：
。由於
Z
0=1，
g
0(
s)=
s；
從而可求出
中
s
i的系數。
Z
n的均值
E
Z
n=
m
n，其中m=
E
Z
1=
g′(1)。
關於Zn的極限性質有：
通常還關心群體是否會絕種的問題。設0＜
p
0＜
p
0+
p
1＜1。以
q表滅絕概率，即
。可以證明
q是方程
g(
s)=
s(0≤
s≤1)的最小根。又
q=1，若
m≤1；
q＜1，若
m＞1，這時還有
，亦即粒子有無限增多的危險。
G-W過程的一般化 設有m（≥2）種不同的粒子A1，A2，…Am，以
表第
n代（或時刻
n）的第
k種粒子的個數，
k=1，2，…，
m，則
構成取值於
m維格子點空間的馬爾可夫鏈。稱{
Z
n，
n=0，1，2，…}為多種類G-W 過程。以
表
A
l中一個粒子分裂為
A
k中
j
k個粒子(
k=1，2，…，
m)的概率。與上述
g相仿，引進
，
可以類似地研究 {
Z
n}的轉移概率、
Z
n的分佈以及第
l種粒子滅絕的概率
q
l等等。
連續時間分支過程 設時間參數t≥0連續，b(t)Δt表示在短時間(t，t+Δt)中發生一次分裂的概率，pk(t)表示一個粒子分裂為k個的概率(k=0，1，2，…)。若b(t)、pk(t)連續，b(t)>0，
，則在時刻
t的粒子數
Z(
t)構成一連續時間馬爾可夫鏈，於是可利用後者的理論來研究{
Z(
t)}。若
b(
t)，
p
k(
t)不依賴於
t，則{
Z(
t)}是齊次的馬爾可夫鏈，這時可以得到許多類似於對 G-W 過程所得到的結果。
參考書目
T.E.Harris，The Theory of Branching Processes，Springer-Verlag，Berlin，1965.
K.B.Ashreya and P.E.Ney，Branching Processes，Springer-Verlag，Berlin，1972.