形如
的數，
n≥0。前五個費馬數是
F
0=3，
F
1<=5，
F
2=17，
F
3=257，
F
4=65537，均為素數。據此，1640年，法國數學傢
P.de費馬猜想
F
n均為素數，1732年，
L.歐拉發現
F
5=641×6700417，故費馬猜想不真。到目前為止，隻知道以上五個費馬數是素數。此外，還證明瞭48個費馬數是復合數。這些復合數可以分成三類：①當
n=5，6，7時，得到瞭
F
n的標準分解式；②當
n=8，9，10，11，12，13，15，16，18，19，21，23，25，26，27，30，32，36，38，39，42，52，55，58，63，73，77，81，117，125，144，150，207，226，228，250，267，268，284，316，452，556，744，1945時，隻知道
F
n的部分素因數；③當
n=14時，隻知道
F
14是復合數，但是它們的任何真因數都不知道。因此，在費馬數列中是否有無窮多個素數，或者是否有無窮多個復合數，都是未解決的問題。自從費馬猜想被否定後，有人猜想費馬數列中隻有有限個素數，這一猜想也未解決。還有一個未能證明的猜想：費馬數無平方因子。L.J.沃倫於1967年證明瞭：如果素數
q滿足
q
2｜
F
n，則
費馬數有一些簡單的性質：如①當整數k＞0時，有
；②設
n＞0，
F
n是素數的充分必要條件是
；③設
n＞1，
F
n的每一個素因數形如
。
1801年，C.F.高斯證明瞭，當h＝
(0≤
n
1＜
n
2<…＜
n
s，
s≥1)，
F
nt(
t=1，2，…，
s)都是素數時，正
h邊形可用圓規和直尺來作圖，可見費馬數與平面幾何的一些問題有聯系。近年來，費馬數在數字信號處理中得到應用。例如，費馬數變換(FNT)，即以費馬數給出的數論變換，在數論變換中最為有用。