代數數論

　　數論的一個重要分支。它以代數整數，或者代數數域為研究物件，不少整數問題的解決要借助於或者歸結為代數整數的研究。因之，代數數論也是整數研究的一個自然的發展。代數數論的發展也推動瞭代數學的發展。

　　代數數論主要起源於費馬大定理的研究。法國數學傢P.de費馬在學習與翻譯丟番圖的《算術》一書時，在書邊上寫下瞭著名的“大定理”，即方程x^{n+yn=zn(n＞2)沒有xyz≠0的整數解。他說他已得到瞭這個結果的證明，由於地方太小而未寫下。可是直到現在，三百多年來經過許多數學傢的努力，這個“大定理”還沒有能夠得到證明。}

　　容易看出，這個結果的證明，可以歸結到n=4以及n為奇素數的情形。費馬本人給出瞭n=4的證明，L.歐拉與A.-M.勒讓德證明瞭n=3的情形，P.G.L.狄利克雷證明瞭n=5的情形。雖然對於許多奇素數，人們已經證明瞭這個結果，但始終沒有得到一個一般的證明。

　　E.E.庫默爾是努力證明費馬大定理的數學傢之一。他利用n次本原單位根

把方程 x ⁿ+ y ⁿ= z ⁿ寫成 ，他以為在分圓域 中，“整數”也象普通整數一樣，可以惟一地分解成素數的乘積。在這個前提下，庫默爾給出費馬大定理的證明。不久，他自己發現他的假定是錯誤的，即在分圓域中，“整數”分解成素數的乘積不具有惟一性。這個發現使庫默爾引入“理想數”的概念，他隨之證明瞭，每個“理想數”可以惟一地分解成素因子的乘積，因而就建立瞭分圓域上的數論。 J.W.R.戴德金把庫默爾的工作系統化並推廣到一般的代數數域，為代數數論奠定瞭基礎。

　　C.F.高斯關於二元二次型的深入研究也引起瞭二次數域算術的研究。

　　有理數域Q上的有限擴張K稱為有限次的代數數域，K對Q的次數n=[K：Q]就是指K作為Q上線性空間的維數。K中每個元素都是一個次數不超過n的有理系數多項式

(1)

的根。因為乘一非零整數後，多項式的根不變，所以不妨假定(1)是整系數多項式。如果 K中元素 α使一個首項系數為1（即 α ₀=1）的整系數多項式(1)為零，那麼 α就稱為一代數整數。 K中全體代數整數組成一個具有單位元素的交換整環 O _K。對於環 O _K中的理想 A、 B定義乘法：

即由 A、 B中元素之積的有限和組成的集合，顯然， AB也是 O _K的理想。一個理想 P稱為素理想，就是指由 α β∈ P必有 α∈ P或 β∈ P。可以證明，在代數整數環 O _K中，每個非零理想 A都可以惟一地分解成素理想的乘積，即 A= P ₁ P ₂… P _t，其中 P _i(i=1，2，…， t)是素理想。在通常的整數環Z中，每個理想都是由一非負整數的倍數所組成，因之，非零理想與正整數是一一對應的。由此可見，關於理想分解的定理正是通常整數的因子分解定理的一個推廣。

　　O_K的全體非零理想組成一乘法半群，O_K就是這個乘法半群的單位元素。為瞭方便，引入分式理想的概念。如果K的一個子集合A是一個有限生成的O_K模，那麼A就稱為一分式理想。顯然，理想全是分式理想。由K中任一元素α的整數倍rα(r∈O_K)組成的集合也是分式理想，它們稱為主分式理想。對於分式理想可以同樣地定義乘法。可以證明，K中全體非零的分式理想在乘法下成一群，而且每個分式理想A都可以惟一地表成素理想方冪的乘積

這個群稱為 K的理想群，記為 I _K。

　　環O_K中可逆元素稱為單位。全體單位組成一乘法群，記為U_K。顯然，K中非零元素α生成的主理想(α)=O_K的充分必要條件是α∈U_K。下面的正合列是基本的：

，　 (2)

其中 K ^*表示 K中全體非零元素組成的乘法群，而 φ把 K ^*中元素映射到它生成的主理想， C _K稱為 K的理想類群，其元素是理想類。按定義 I _K，中兩個理想 A、 B屬於同一類，當且僅當有 α∈ K ^*使 A= α B。代數數論中一個基本的事實是： C _K為一有限阿貝爾群， h _K=| C _K|稱為 K的類數。當 h _K=1，即每個理想都是主理想， O _K為一主理想環，從而因子分解惟一性定理成立。在一定意義上，理想類群 C _K與類數 h _K反映瞭代數數域 K在算術上的復雜性。直到現在，類群結構的研究與類數的計算，始終是代數數論中重要問題之一。即使是二次域類數的計算也是很困難的，近年來一個值得註意的進展是：A.貝克和H.M.斯塔爾克各自獨立地於1966年和1967年確定出類數是1的全部虛二次域 它們分別是 d=1，2，3，7，11，19，43，67，163等9個。

　　正合列（2）的另一端是單位群U_K，它的結構已被狄利克雷完全決定。他證明瞭U_K=H_K×V_K，式中H_K為K中全部單位根組成的有限群，V_K是一秩為r₁+r₂-1的自由阿貝爾群，r₁為K到實數域R同構的個數，2r₂為K到復數域C 同構(非實的)個數。V_K的一組基稱為基本單位組。具體算出基本單位組是代數數論中又一個重要的問題。基本單位組與類數有密切的聯系。

　　整數環中一個素數p在O_K中生成一個理想pO_K，一般地，它不一定是O_K中的素理想。研究素數p在O_K中的素理想分解的規律，是代數數論中一個中心問題。下面把這個問題放在一個更廣的形式下來討論。

　　設L是代數數域K上的一個l次擴張，L當然仍是一個代數數域。它的代數整數環為O_L，顯然，

且 O _L為 O _K的一個有限生成模。

　　如果O_L是O_K上一自由模（秩一定是l），那麼在O_L中就有l個元素r₁，r₂，…，r_l構成O_L的一組基，即

這樣的元素組 r ₁， r ₂，…， r _l稱為 O _L對於 O _K的一組整基。當 O _K是主理想環時，由主理想環上有限生成模的結構定理可知， O _L對於 O _K一定有整基。特別地，代數整數環 O _K對於整數環Z一定有整基。在一般的情況下，整基不一定存在。

　　設P是O_K中一個素理想。PO_L是O_L中一個理想，它在O_L中有素理想分解

　　　(3)

因為代數整數環是戴德金環，素理想都是極大理想，即代數整數環對於素理想的商環是域。對於(3)，可以證明 Q _i∩ O _K= P，i=1，2，…， g。因而 O _K/ P可以看作 O _L/ Q _i的子域。令 它稱為 Q _i對於 P的剩餘次數， e _i稱為 Q _i對於 P的分歧指數。於是有

　　　(4)

如果在(3)中有某個 e _i＞1，即 P O _L被素理想 Q _i的平方整除，就說 P在 L中分歧，而 Q _i就稱為在 K上分歧。否則就稱為非分歧。如果 O _K中所有的素理想在 L中都是非分歧的， L就稱為 K的一個非分歧擴張。

　　判別式與差積是刻畫分歧的兩個重要概念。令Tr表示有限擴張L到K的跡。對於L中任意l個元素v₁，v₂，…，v_l，可知det│Tr（v_i，v_j）│＝0的充分必要條件是v₁，v₂，…，v_l，在K上線性相關。在O_L中取l個在K上線性無關的元素v₁，v₂，…，v_l，作

對於 O _L中所有可能的線性無關的元素組 v ₁， v ₂，…， v _l，det│Tr( v _i， v _j)│在 O _K中生成一個理想Δ( L/ K)，它稱為 L對於 K的判別式。可以證明， O _K中素理想 P在 L中分歧，當且僅當 P｜Δ( L/ K)。由此可知， K中分歧的素理想隻有有限多個，且 L為非分歧擴張的充分必要條件是：Δ( L/ K)= O _K。利用判別式可以證明，有理數域上沒有次數大於1的非分歧擴張。

　　在L中定義C＝{v∈L│Tr(vO_L)⊂O_K}，顯然C 是L的一個分式理想，且CɔO_L。令 δ(L/K)=C^-1，它是O_L中一個理想，稱為L對於K的差積。可以證明，O_L中素理想Q在K上分歧，當且僅當Q｜δ(K/L)。差積與判別式有密切聯系。

　　研究代數數域的算術性質與代數性質之間的聯系，是代數數論的一個重要的方面。

　　設L/K是一伽羅瓦擴張，g=g（L/K）是伽羅瓦群。可以證明，在分解式（3）中，素理想Q₁，Q₂，…，Q_g在伽羅瓦群g下是可遷的，因而有

即對於 O _K中素理想 P有

且 Q ₁， Q ₂，…， Q _g有相同的剩餘次數 f。公式(4) 就成為 l= e f g。令 D ₁為 Q ₁在 g中的穩定子群，即

，顯然[ g： D ₁]= g，| D ₁|= e f。令 岧= O _L/ Q ₁， K= O _K/ P，於是 D ₁中每個元素誘導出岧/ K的一個自同構。可以證明， 是一滿同態。令 K ₁為這個同態的核，顯然，[ D ₁： K ₁]= f，│ K ₁│= e， D ₁稱為 Q ₁的分解群， K ₁稱為 Q ₁的惰性群。對 Q _i相應地有子群 D _i與 K _i，在 g中它們分別與 D ₁與 K ₁共軛。當 P非分歧時，

(因 K、岧是有限域)。由伽羅瓦基本定理，相應地有一串域

是 L的一個最大的域， P在其中不分歧。當 P分歧時，群 K ₁還可進一步細分，即定義所謂高階分歧群。這是由D.希爾伯特建立的一套重要的理論，稱為希爾伯特分歧理論。

　　對於代數數域上的阿貝爾擴張，有很深刻的結果，即所謂類域論。

　　

參考書目

　華羅庚著：《數論導引》，科學出版社，北京，1953。

　E.Hecke，Lectures on the Theory of Algebraic Numbers，Springer-Verlag，Berlin，1981.

　Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich，Number Theory，Academic Press，New York，1966.