大樣本統計

　　研究樣本大小n趨於無限時，統計量和相應的統計方法的極限性質(又稱漸近性質)，並據以構造具有特定極限性質的統計方法。例如，用樣本均值

估計 總體均值 θ，在 n→ 時， 以概率1收斂於 θ(見 概率論中的收斂)，稱 為 θ的強相合估計。 的這個性質隻有在 n→ 時才有意義，這叫做大樣本性質，而強相合性的研究屬於大樣本統計的范圍。根據統計量的極限性質而得出的統計方法稱為大樣本方法。例如：設 X ₁， X ₂，…， X _n是從正態總體 N( μ， σ ²)中抽出的樣本， μ和 σ未知，要作 μ的 區間估計。記樣本方差為 當 依分佈收斂於標準正態分佈 N（0，1）。基於這個性質可知，當 n較大時，可用

作為 μ的區間估計，其中 是標準正態分佈的上 分位數（見 概率分佈）；這個估計的置信系數當 n→ 時趨於指定的1- α(0＜ α＜1)。這就是一個大樣本方法。

　　與大樣本性質和大樣本方法相對，小樣本性質是指在樣本大小n固定時統計方法的性質，小樣本方法是指基於n固定時的統計量性質的統計方法。如上述第一例，當n固定時有E

= θ，即 為 θ的無偏估計(見 點估計)； 的這個性質在 n固定時有意義，所以是小樣本性質。又如，英國統計學傢W.S.戈塞特(又譯哥色特，筆名“學生”)在1908年找到瞭 的精確分佈為自由度是 n-1的 t分佈(見 統計量)。基於此事實，可知對任何固定的 n， μ的區間估計 具有確切的置信系數1- α。其中 是自由度為 n-1的 t分佈上 分位數。這個性質對任何固定的 n都成立。因而上述區間估計是小樣本方法。總之，區分大、小樣本性質（或方法）的關鍵在於樣本大小 n是趨於無限還是固定，而不在於 n數值的大小。

　　小樣本方法也稱為“精確方法”，因為它往往是基於有關統計量的精確分佈（如前例中的t分佈）；與此相應，小樣本方法的統計特性，如顯著性水平（見假設檢驗）、置信系數(見區間估計)等，往往是精確而非近似的。與此相對，大樣本方法也稱為“漸近方法”或“近似方法”，因為它是基於統計量的漸近分佈，且有關的統計特性隻是近似而非精確的。在應用中，樣本大小n總是一個有限數，這裡就有一個近似程度如何的問題。如在對N（μ，σ²）中的μ作區間估計的例子中，指定的置信系數為0.95，按大樣本理論作出區間估計

當 n→ 時，其置信系數趨於0.95，但即使 n很大，置信系數也隻是接近而非確切等於0.95。為瞭在使用它時做到心中有數，需要在 n固定的情況下，對真實的置信系數與其近似值0.95的差距作出有用的估計，在大樣本方法的使用中，一般都存在此問題。但由於數學上的困難，目前使用的許多大樣本方法中，通常很少有有效的誤差估計，這是大樣本方法的弱點。然而它仍有重要的理論和實際意義：它不僅提供瞭一批可供選用的統計方法，而且，經驗證明，當一個統計方法不具備某些基本的大樣本性質（如相合性）時，常常也很難有良好的小樣本性質。評價一個統計方法的優良性時，大樣本性質是不可忽視的。

　　相合性，是一項重要的大樣本性質。一般地說，統計方法的相合性是指：隻要樣本大小n足夠大，則使用這個統計方法時，可以用任意確切的程度回答所提出的統計推斷問題。例如，估計的相合性是表示，當n→

時，估計量在一定意義下，如依概率收斂或幾乎必然收斂或以 r階平均收斂(見 概率論中的收斂)於被估計值。檢驗的相合性是指它在任意指定的備擇假設處的功效當 n→ 時趨於1。相合性是最基本也是最容易滿足的大樣本性質。還有漸近無偏性、漸近有效性（見 點估計）、和漸近正態性，或更一般地，漸近於某種特殊的極限分佈的性質，也都是重要的大樣本性質。

　　大樣本統計的發展，依賴於概率論的極限理論，它在一定程度上已構成概率論極限理論的一個方面。1900年K.皮爾森證明瞭關於擬合優度的ⅹ²統計量的分佈漸近於ⅹ²分佈的著名定理，可以作為大樣本理論的發端。更早一些，在概率論中就證明瞭關於二項分佈漸近於正態分佈的定理，這個定理也可用於大樣本統計方法（求二項分佈參數的大樣本區間估計），但習慣上把這定理看作是純粹概率論的定理。自1900年以後，特別是二次大戰後的30多年中，大樣本理論發展很快，達到瞭相當深入的地步，重要的結果有：關於擬合優度的ⅹ²檢驗漸近於ⅹ²分佈的理論，最大似然估計及一般漸近有效估計的理論，似然比檢驗及一般漸近有效估計的理論，穩健估計大樣本理論以及非參數統計中大量的大樣本理論。現在，大樣本理論在數理統計學中仍是一個活躍的研究方面。（見假設檢驗、點估計、穩健統計）

　　

參考書目

　J.Serfling，ApproxiMation Theorems in MatheMatical Statistics，John Wiley &Sons，New York，1980.