初等幾何變換

　　將幾何圖形按照某種法則或規律變成另一種幾何圖形的過程。它對於幾何學的研究有重要作用。如果某種幾何變換的全體組成一個“群”，就有相應的幾何學，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質與不變數，就是相應幾何學的主要內容（見埃爾朗根綱領）。例如，研究圖形在全等變換群下的不變性與不變數，就是歐幾裏得幾何學的主要內容。幾何變換為用近代數學方法討論初等幾何提供瞭廣闊的前景。幾何變換還在繪圖、力學、機械結構的設計、航空攝影測量、電路網路等方面有廣泛的應用。

　　初等幾何變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。

　　全等變換　如果從平面(空間)到其自身的映射，對於任意兩點A、B和它們的像A′，B′總有A′B′=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。顯然，在全等變換下兩點之間的距離是不變量。由全等變換得到的圖形與原圖形相等。

　　在平面內存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換（真正全等變換），它把一個圖形變成與它正常全等的圖形，所謂正常全等圖形是指兩個全等圖形上每兩個對應三角形有同一方向（順時針或逆時針方向），並且每兩個對應的有向角有同一方向(圖l之a)。

第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換），它把一個圖形變成與它反常全等的圖形，即對於兩個全等的圖形上每兩個對應三角形有相反的方向，並且每兩個對應的有向角有相反的方向(圖1之b）。類似地，空間也有正常全等變換和反常全等變換。

　　全等變換存在逆變換、恒等變換。接連施行兩次全等變換的積仍是全等變換，所以全等變換的全體組成"群"，叫做全等變換群，也叫做剛體變換群或運動群。平移、旋轉、反射都是特殊的全等變換。

　　平移變換　如果在平面內任意一點P變到P′時，使得

有給定的方向，並且線段 P P′有給定的長度，這種平面到其自身的映射叫做平移變換。顯然，平移變換下連接各對應點的線段互相平行且相等，各對應線段互相平行且相等。平移變換把一個圖形變為與它正常全等的圖形（圖2）。

　　旋轉變換　如果平面到其自身的一個映射，使得定點O保持不動，並且，對於任一點P映射到P′點，有OP=OP′，∠POP′=θ(0°≤θ≤180°)，且從射線OP到OP′的方向與給定方向相同，這個映射叫做繞中心O，按已知方向旋轉θ的旋轉變換。O點叫做旋轉中心，θ叫做旋轉角（圖3）。

旋轉變換下各對應直線所成的角不變，都等於其旋轉角。一個圖形經過旋轉變換，得到與它正常全等的圖形。

　　旋轉角為180°的旋轉變換叫做中心反射。（圖4）中圖形F和F′是關於O點中心反射，O點叫做反射中心，此時，圖形F和F′正常全等。

　　如果在某個中心反射下，一個圖形的像與它自身重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形或中心反射圖形。如平行四邊形是關於對角線中點對稱的中心對稱圖形（圖5之a）。圓（圖5之b）、橢圓（圖5之c）、雙曲線（圖5之d）都是中心對稱圖形。

　　空間旋轉變換有繞軸的旋轉，它是空間到其自身的映射，且滿足下述條件：①點P的像P′與P同在與給定軸線S垂直的平面M內，②點P和P′到軸線S的距離相等，即PP₀=P′P₀。P₀是平面M與軸線S的交點，③∠PP₀P′為定角θ（圖6）。

這個映射叫做繞軸 S旋轉定角 θ的空間旋轉變換。由 P P ₀到 P′ P ₀的旋轉方向規定為：如果 θ＞0就表示用右手握拳，拇指指向軸上正方向；如果 θ＜0，旋轉與此反向。

　　空間旋轉還有空間中心反射。每個點，對於中心O都有它的像與之對應。空間中心反射變換把一個圖形變為與它反常全等的圖形（圖7）。

關於某定點的中心反射空間圖形，常見的有平行六面體，它是關於對角線交點為反射中心的中心反射圖形（圖8）。

　　反射變換　有直線反射變換和平面反射變換。

　　直線反射變換是從P點向直線g引垂線，垂足為O，延長PO到P′，使OP′=PO，把P′點稱為P點關於直線g反射的像，直線g叫做反射軸(圖9)。一個從平面到它自身的映射，如果把平面內的每一點映射到它關於直線g的反射的像，這個映射稱為以直線g為反射軸的直線反射變換或直線對稱變換。顯然，反射軸是各對應點所連線段的中垂線，反射軸上任一點到各對應點的距離相等。

　　關於直線反射的兩個圖形，是互為反常全等的圖形（圖10）。

　　如果沿著一條直線把兩個圖形對折後能夠互相重合，這兩個圖形叫做以這條直線為對稱軸的互為對稱的圖形。如果一個圖形被一條直線分成的兩個部分關於此直線互為對稱，此圖形稱為軸對稱圖形。如等腰三角形是關於底邊上的高為對稱軸的軸對稱圖形。矩形、菱形、等腰梯形等都是軸對稱圖形。

　　對於空間圖形，如果一個圖形關於直線g反射變換到它自身，就說這個圖形是關於軸g的空間反射圖形。顯然，一個圖形繞這個軸旋轉180°後，就與它自身重合。如果一個圖形借助於某平面反射變換到它自身，這個圖形叫做關於這個平面的反射對稱圖形。例如直圓柱是以所有含軸的平面為對稱面的對稱圖形，球是以一切通過中心的平面為對稱面的對稱圖形（圖11）。

　　直線反射與平移、旋轉有密切的聯系，有如下的定理：在平面（空間）內，對於直線（平面）的兩次反射的積，如果①兩反射軸（平面）重合，則為恒等變換；②兩反射軸（平面）平行，則為平移變換；③兩反射軸（平面）相交，則為旋轉變換。

　　平面內每個全等變換都可以看作是不多於三次直線反射的積，每個異於恒等變換的正常全等變換都可以看作是兩次直線反射的積；任意給出兩個反常全等圖形，可以施行一次或接連施行三次反射，使此形變成彼形。

　　相似變換　平面（空間）到其自身的一個映射，如果對於任意兩點A、B及其像A′、B′有A′B′=kAB(k＞0)，把這個映射叫做平面（空間）的相似變換。當k=1時，相似變換就是全等變換。

　　平面內有兩種相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形，即使得兩個相似圖形的每對對應三角形有同一的方向，每對對應角有同一方向（圖12之a）。

鏡像相似變換把一個圖形變換成與它鏡像相似的(負相似)圖形。即使得兩個相似圖形的每對對應三角形有相反的方向，每對對應角有相反的方向（圖12之b）。

　　類似地，空間真正相似變換，把一個空間圖形變換成與它真正相似的圖形，即使得兩個空間相似圖形的每兩個對應四面體同向，對應三面角也同向。鏡像相似變換，把一個空間圖形變換成與它鏡像相似的圖形，即使得兩個空間相似圖形的對應四面體反向，對應三面角也反向。

　　相似變換保持兩直線所成角的大小不變，並且不改變圖形的形狀而改變其大小，兩個相似的平面圖形，其面積之比等於它們的相似比的平方；兩個相似的空間圖形，其體積之比等於它們的相似比的立方。

　　平面（空間）的全體相似變換組成一個群，稱為相似變換群。

　　相似變換的特殊情形是位似變換。

　　位似變換　對於平面到其自身的一個映射，如果存在定點S及常數k(k≠0)。使得對於任意點M及其像M′，滿足：①S，M，M′三點共線；②SM′=│k│SM，則這種映射稱為以S為位似中心，k為位似比的位似變換。當k＞0時，對應的兩點在位似中心的同側，稱為順位似（圖13之a），S稱為外位似中心；當k＜0 時，對應的兩點在位似中心的異側，稱為逆位似（圖13之b），S稱為內位似中心，當丨k丨>1。原圖形被放大；當丨k丨＜1，原圖形被縮小。特別地，當k=-1的位似變換，可看作是以S為中心，旋轉角為180°的旋轉變換。

　　在位似變換下，任何一條直線變為與它平行的直線(圖14)，直線AB經位似變換得到A′B′，則A′B′∥AB。

　　任意兩個不等的圓，都可看作是位似圖形，兩圓心是對應點。如圖15

，圓 O的半徑為 R，圓 O′的半徑為 r。 S和 S′分別以定比 R/ r外、內分線段 O O′。圓 O和圓 O′分別關於 S和 S′位似，它們的位似比為 R/ r。

　　類似地，任意兩個不等的球也可以看作是位似圖形，並且有兩種方法使它們位似。

　　反演變換　在平面內設有一半徑為R，中心為O的圓，對任一異於O點的P點，將其變換成該射線OP上一點P′，且使OP′·OP=R²，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪（圖16）。

從定義可知，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應，它使位於圓內的點變成圓外的點，位於圓外的點變成圓內的點，反演中心變成平面內的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變。

　　空間反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之也成立。

　　反演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。